Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate. In Aufgabe 1 geht es darum, die durchschnittliche Änderungsrate zu berechnen. Dies erfolgt in Teilaufgabe a) anhand von Rechenbeispielen, in b) hingegen übst du durchschnittliche Änderungsraten im Sachzusammenhang zu berechnen. Dies ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher bist im Umgang mit durchschnittlichen Änderungsraten, kannst du diese Aufgabe auch überspringen. Bei Aufgabe 2 beschäftigst du dich mit der Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate. In Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. In Teilaufgabe c) musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. Den Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate erarbeitest du in Aufgabe 3. Teilaufgabe a) ist eine Förderaufgabe. In Teilaufgabe b) geht es um die graphischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe.

Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten

Aufgabe 1

a) Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den angegebenen Intervallen.

$1. f(x)=4x+2$ im Intervall $[2,5]$

$2. f(x)=x^2$ im Intervall $[2,7]$

$3. f(x)=x^3-2$ im Intervall $[-2,1]$

<popup name="Tipp 1"> Die durchschnittliche Änderungsrate in einem Intervall [x₀, x₁] berechnet man so: $\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}$.</popup> <popup name="Tipp 2 (zu 3.)"> Achte auf die Vorzeichen!</popup>

<popup name="Lösung">1. (22-10)/ (5-2)= 12/3= 4 2. (49-4)/ (7-2)= 45/5= 9 3. ((-1)-(-10))/ (1-(-2))= 9/3= 3(</popup>

b) Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):

Datei:Diwerspng.PNG

Leider hat der Vorstand in seiner eigenen Schulzeit in Mathe nicht sehr gut aufgepasst und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.

1. Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?

(!30) (!2,4) (!24) (!29,71) (26)

2. Der aktuelle Vorstand arbeitet seit Anfang 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollten im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016. Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?

(Ja, es ist Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen.) (!Nein, sie haben ihr Ziel nicht erreicht.) (!Sowohl vor der Wahl als auch nach der Wahl des neuen Vorstands sind im Durchschnitt pro Jahr genau gleich viele Mitglieder dem Verein beigetreten.)

<popup name="Lösung"> Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen, denn in den sechs Jahren zuvor (2016-2010=6) sind insgesamt 365-210=155 Mitglieder hinzugekommen, d.h. im Durchschnitt stieg die Mitgliederzahl um 155/6= 25,83 Mitglieder pro Jahr. In den letzten zwei Jahren (2018-2016=2) kamen noch insgesamt 418-365= 53 Mitglieder hinzu, d.h die Mitgliederzahl wuchs im Durchschnitt um 53/2= 26,5 Mitglieder pro Jahr. Die durchschnittliche Änderung der Mitgliedszahlen war in den letzten zwei Jahren also höher als in den Jahren davor. </popup>

Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 2:

$f(x_0)$) und Q($x_1$

Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

Aufgabe 3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

{{{2}}}