Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Infokästchen, dessen Text noch eingefügt werden muss

Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten

Aufgabe 1a)

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Aufgabe 2: Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate

Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.

<popup name="Hinweis Differenzenquotient">Die Formel $\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}$ stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [$x_1$;$x_2$] an. Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch zwei Punkte. </popup>

<popup name="Hinweis Differenzialquotient">Die Formel $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist anschaulich der Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich der Punkt $Q(x_0+h|f(x_0+h))$ auf den Punkt P $P(x_0|f(x_0))$ zu bewegt. Also ist es die Steigung der Tangente in P und entspricht der Ableitung in $x_0$.</popup>

Aufgabe 2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a

Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.

<popup name="Lösung" >{| class="wikitable" |- ! mittlere Änderungsrate !! momentane Änderungsrate |- | Sekante || Tangente |- | $\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}$ || $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ |- | die Steigung zwischen zwei Punkten || die Steigung im Punkt P |- | die durchschnittliche Steigung || die Ableitung an der Stelle x₀ |- | die Durchschnittsgeschwindigkeit || die Momentangeschwindigkeit </popup>

Aufgabe 2c: Änderungsraten im Sachzusammenhang

Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt:

        $s(t)=10t-t^2$    für  $t\in [0;5]$

(i) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.

(ii) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt.

(iii) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für $t=6$ keinen Sinn?

<popup name="Hinweis zu (ii)">Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit</popup>

<popup name="Lösung (i)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.</popup>

<popup name="Lösung (ii)">Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.</popup>

<popup name="Lösung (iii)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da Tim bei t=5 schon abgebremst hat.</popup>

Aufgabe 3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

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a) Sieh dir zunächst die Formeln im unteren Bereich der Darstellung an. Durch Verschieben des h-Knopfs verändern sich die Werte. Probiere dies aus und fülle den folgenden Lückentext aus.

b)