Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen
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[[File:Tangente2.svg|250px|links|rahmenlos|Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt. Diese Abbildung zeigt, dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann. Graph der Funktion Tangente]]}} | [[File:Tangente2.svg|250px|links|rahmenlos|Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt. Diese Abbildung zeigt, dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann. Graph der Funktion Tangente]]}} | ||
{{Merke| | |||
'''Die lokale Änderungsrate''' | |||
Die '''lokale Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der '''Tangente''' an der Stelle <math>x</math> an. Die Steigung der Tangente entspricht der '''Ableitung''' der Funktion <math>f</math>. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung <math>f'(x)</math> berechnen. | |||
Eine weitere Methode zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate ist, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden. | |||
Der Grenzwert '''<math>\overrightarrow{h \rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math>''' heißt '''Differenzialquotient'''. | |||
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/6HDhATXNCGU" frameborder="0" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen></iframe>.}} | |||
==Bestimmung von mittleren Änderungsraten== | ==Bestimmung von mittleren Änderungsraten== | ||
Version vom 16. November 2018, 15:14 Uhr
Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der mittleren und lokalen Änderungsrate.
Viel Spaß beim Bearbeiten! :) |
Bestimmung von mittleren Änderungsraten
(!30) (!2,4) (!24) (!29,71) (26)
<popup name="Tipp "> In dieser Aufgabe wird die mittlere Änderungsrate im Intervall gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du diese berechnen kannst, lies in den Tipps zu Aufgabe 1 nach. </popup> <popup name="Lösung"> Um herauszufinden, wie viele Mitglieder seit 2010 in deinem Verein durchschnittlich pro Jahr hinzugekommen sind, musst du die mittlere Änderungsrate im Intervall [2010, 2018] bestimmen. Wir können sagen, dass f(x) die Funktion ist, die jeder Jahreszahl ab 2010 die Anzahl der Mitglieder in diesem Jahr zuordnet. Dann ist f(2010)=210 und f(2018)=418. Mit diesen Werten kannst du jetzt die mittlere Änderungsrate bestimmen:
Aus der mittleren Änderungsrate kannst du nun ablesen, dass seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr 26 Mitglieder in deinem Verein hinzugekommen sind. </popup>
b) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?
(Ja, es ist Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen.) (!Nein, sie haben ihr Ziel nicht erreicht.) (!Sowohl vor der Wahl als auch nach der Wahl des neuen Vorstands sind im Durchschnitt pro Jahr genau gleich viele Mitglieder dem Verein beigetreten.)
<popup name="Tipp"> Vergleiche die mittlere Änderungsrate in den Jahren vor der Wahl des neuen Vorstands (2010-2016) und nach der Wahl des neuen Vorstands (2016-2018). Wenn du nicht mehr weißt, wie du die mittlere Änderungsrate berechnen kannst, schaue dir die Tipps zu Aufgabe 1 und 2a) nochmal an. </popup> <popup name="Lösung"> Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen.
Um auf diese Lösung zu kommen, musst du die mittleren Änderungsraten in den Jahren vor und nach der Wahl des neuen Vorstands vergleichen.
durchschnittliche Änderungsrate vor der Wahl:
durchschnittliche Änderungsrate nach der Wahl:
Die mittlere Änderungsrate der letzten zwei Jahren ist also höher als die der Jahre davor. Daraus lässt sich schließen, dass der durchschnittliche Mitgliedszuwachs im Verein pro Jahr seit 2016 ein wenig höher ist als es in den Jahren davor der Fall war. </popup>
Unterscheidung der Änderungsraten
Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate