Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

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Main>Julia WWU3
Main>Julia WWU3
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==Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate==
==Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate==


{{Aufgaben|5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate| <math>f(x) = -1/2*(x-1)^2+3</math>  
{{Aufgaben|5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate| <math>f(x) = -1/2*(x-1)^2+3</math>  
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[[Datei:Funktionsgraph.PNG|350px|zentriert|rahmenlos|Bild des Funktion f]]
[[Datei:Funktionsgraph.PNG|350px|zentriert|rahmenlos|Bild des Funktion f]]


 
In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte der Funktion f aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt <math>P = (2|2,5)</math> mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.
In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte aufgelistet, die du auch in der obigen Graphik ablesen kannst. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt <math>P = (2|2,5)</math> mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.


[[Datei:Tabelle Grenzwert.PNG|300px|zentriert|rahmenlos|Tabelle zu x-, y-Werten und dem Differenzenquotienten zu der gegebenen Funktion f]]
[[Datei:Tabelle Grenzwert.PNG|300px|zentriert|rahmenlos|Tabelle zu x-, y-Werten und dem Differenzenquotienten zu der gegebenen Funktion f]]


'''a)''' Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.
'''a)''' Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.
<popup name="Lösung">Je näher man den x-Wert an 2 annähert, desto kleiner wird der Wert des Differenzenquotienten. Er nähert sich von anfänglich -0,95 immer näher an -1 an. So liegt der Wert des Differenzenquotienten bei 1,99 bei -0,995.</popup>


'''b)''' Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist.
'''b)''' Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist.


<popup name="Tipp zu 3a.2)">Überlege, welche Werte im Zähler und im Nenner des Differenzenquotienten in dieser Zeile stünden.</popup>
<popup name="Tipp">Überlege, welche Werte im Zähler und im Nenner des Differenzenquotienten in dieser Zeile stünden.</popup>
 
<popup name="Lösung zu 2)">In dieser Zeile müsste man 0/0 rechnen. Dies ist keine zulässige Rechenoperation, also nicht berechenbar.</popup>


'''c)''' Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt (2 ; 2,5)? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Beantworte diese Fragen selbst oder löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf <math>\frac {f(2)-f(x)} {2-x}</math>.
'''c)''' Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt <math>P = (2|2,5)</math>? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Beantworte diese Fragen selbst oder löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf <math>\frac {f(2)-f(x)} {2-x}</math>.


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<popup name="Tipp zu 3a.3) zum Lückentext">Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> \lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math></popup>
<popup name="Tipp">Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> \lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math></popup>


<popup name="Lösung zu 1)">Je näher man den x-Wert an 2 annähert, desto kleiner wird der Wert des Differenzenquotienten. Er nähert sich von anfänglich -0,95 immer näher an -1 an. So liegt der Wert des Differenzenquotienten bei 1,99 bei -0,995.</popup>
<popup name="Lösung zu 3)"> Wenn der Differenzenquotient einen bestimmten Wert, z.B. -0,95 bei x=1,9, annimmt, entspricht der Wert der mittleren Änderungsrate der Funktion im Intervall [1,9;2]. Wenn man kleinere Intervalle betrachtet, nähert sich der Differenzenquotient -1 an. Das bedeutet, in der Umgebung von x=2 liegt die Änderungsrate nahe bei -1. Da die Änderungsrate in einem Punkt von dem Differenzialquotient angegeben wird, entspricht der der Grenzwert des Differenzenquotienten →<math>\frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math> dem Differenzialquotienten. Letzterer gibt die lokale Änderungsrate im Punkt <math>P = (2|2,5)</math> an.</popup>}}


<popup name="Lösung zu 2)">In dieser Zeile müsste man 0/0 rechnen. Dies ist keine zulässige Rechenoperation, also nicht berechenbar.</popup>
==graphischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate==


<popup name="Lösung zu 3)"> Wenn der Differenzenquotient einen bestimmten Wert, z.B. -0,95 bei x=1,9, annimmt, entspricht der der mittleren Änderungsrate der Funktion im Intervall [1,9;2]. Wenn man kleinere Intervalle betrachtet, nähert sich der Differenzenquotient -1 an. Das bedeutet, in der Umgebung von x=2 liegt die Änderungsrate nahe bei -1. Da die Änderungsrate in einem Punkt von dem Differentialquotient angegeben wird, entspricht der der Grenzwert des Differenzenquotienten <math> \lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math> dem Differentialquotienten. Letzterer gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x=2 an.</popup>}}
{{Aufgaben|6: graphischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate| (Forder-Aufgabe)  
 
{{Aufgaben|6: graphischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate|(Forder-Aufgabe)  


Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.
Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.
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'''a)''' Was gibt die Variable m<sub>s</sub> an?
'''a)''' Was gibt die Variable m<sub>s</sub> an?


<popup name="Lösung"> m<sub>s</sub> gibt die Steigung der Sekante an.</popup>
<popup name="Tipp"> m ist dir als Steigung einer Geraden bekannt. Wie nennt man die Gerade, deren Steigung hier mit m<sub>s</sub> benannt ist?</popup>
 
<popup name="Lösung"> m<sub>s</sub> gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte A und B an.</popup>


'''b)''' Fülle nun den folgenden Lückentext aus.
'''b)''' Fülle nun den folgenden Lückentext aus.
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pfj78n0nc18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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<popup name="Tipp Sekante">Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an.</popup>
<popup name="Tipp Sekante">Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die mittlere Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an.</popup>


<popup name="Tipp Tangente">Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.</popup>
<popup name="Tipp Tangente">Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.</popup>

Version vom 16. November 2018, 14:13 Uhr


Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der mittleren und lokalen Änderungsrate.

In Aufgabe 1 geht es darum, die mittlere Änderungsrate zu berechnen. Dies erfolgt in Teilaufgabe a) anhand von Rechenbeispielen. In b) hingegen übst du mittlere Änderungsraten im Sachzusammenhang zu berechnen. Dies ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher im Umgang mit mittleren Änderungsraten bist, kannst du diese Aufgabe auch überspringen.

In Aufgabe 2 beschäftigst du dich mit der Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate. In Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. In Teilaufgabe c) musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.

Den Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate erarbeitest du in Aufgabe 3. Teilaufgabe a) ist eine Förderaufgabe. In Teilaufgabe b) geht es um die graphischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe.



Merke
Was man sich merken soll


Bestimmung von mittleren Änderungsraten

Aufgabe 1: Berechnung der mittleren Änderungsrate
{{{2}}}


Aufgabe 2: Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext


Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):

Datei:Diwerspng.PNG




Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.

a) Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?


(!30) (!2,4) (!24) (!29,71) (26)

<popup name="Tipp "> In dieser Aufgabe wird die mittlere Änderungsrate im Intervall gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du diese berechnen kannst, lies in den Tipps zu Aufgabe 1 nach. </popup> <popup name="Lösung"> Um herauszufinden, wie viele Mitglieder seit 2010 in deinem Verein durchschnittlich pro Jahr hinzugekommen sind, musst du die mittlere Änderungsrate im Intervall [2010, 2018] bestimmen. Wir können sagen, dass f(x) die Funktion ist, die jeder Jahreszahl ab 2010 die Anzahl der Mitglieder in diesem Jahr zuordnet. Dann ist f(2010)=210 und f(2018)=418. Mit diesen Werten kannst du jetzt die mittlere Änderungsrate bestimmen:

Aus der mittleren Änderungsrate kannst du nun ablesen, dass seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr 26 Mitglieder in deinem Verein hinzugekommen sind. </popup>

b) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?

(Ja, es ist Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen.) (!Nein, sie haben ihr Ziel nicht erreicht.) (!Sowohl vor der Wahl als auch nach der Wahl des neuen Vorstands sind im Durchschnitt pro Jahr genau gleich viele Mitglieder dem Verein beigetreten.)

<popup name="Tipp"> Vergleiche die mittlere Änderungsrate in den Jahren vor der Wahl des neuen Vorstands (2010-2016) und nach der Wahl des neuen Vorstands (2016-2018). Wenn du nicht mehr weißt, wie du die mittlere Änderungsrate berechnen kannst, schaue dir die Tipps zu Aufgabe 1 und 2a) nochmal an. </popup> <popup name="Lösung"> Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen.

Um auf diese Lösung zu kommen, musst du die mittleren Änderungsraten in den Jahren vor und nach der Wahl des neuen Vorstands vergleichen.

durchschnittliche Änderungsrate vor der Wahl:

durchschnittliche Änderungsrate nach der Wahl:

Die mittlere Änderungsrate der letzten zwei Jahren ist also höher als die der Jahre davor. Daraus lässt sich schließen, dass der durchschnittliche Mitgliedszuwachs im Verein pro Jahr seit 2016 ein wenig höher ist als es in den Jahren davor der Fall war. </popup>


Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 2: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate
) und Q(


Aufgabe 3: Änderungsraten im Sachzusammenhang
{{{2}}}


Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Aufgabe 5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate
{{{2}}}


graphischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Aufgabe 6: graphischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate
{{{2}}}
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