Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

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Main>Julia WWU3
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Main>Tina WWU3
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==Unterscheidung der Änderungsraten==
==Unterscheidung der Änderungsraten==


{{Aufgaben|3:|
{{Aufgaben|2: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate|
'''a) Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate'''
'''a)''' Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur durchsnittlichen oder lokalen Änderungsrate zieht.
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Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.
<popup name="Tipp: Durschnittliche Änderungsrate">Die Formel <math>\frac{f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math> stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [<math>x_1</math>;<math>x_2</math>] an.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=764461" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<popup name="Tipp: Differenzenquotient">Die Formel <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}</math> stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [<math>x_1</math>;<math>x_2</math>] an.
Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch die zwei Punkte P(<math>x_0</math>|<math>f(x_0)</math>) und Q(<math>x_1</math>|<math>f(x_1)</math>).
Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch die zwei Punkte P(<math>x_0</math>|<math>f(x_0)</math>) und Q(<math>x_1</math>|<math>f(x_1)</math>).
[[File:Afgeleide.svg|Geometrische Betrachtung des Differenzenquotienten|300px]]</popup>
[[File:Afgeleide.svg|Geometrische Betrachtung des Differenzenquotienten|300px]]</popup>


<popup name="Tipp: Differenzialquotient">Die Formel <math> \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math> heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an und entspricht der Ableitung an dieser Stelle.</popup>
<popup name="Tipp: Lokale Änderungsrate">Die Formel →<math>\frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math> heißt Differenzialquotient. Dieser Quotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an und entspricht der Ableitung an dieser Stelle.</popup>
 


'''b) Vertiefen der Ergebnisse aus 3a)'''


Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.
'''b)''' Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe und Formeln gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente.
<popup name="Lösung"
<popup name="Lösung"
>{| class="wikitable"
>{| class="wikitable"
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| Sekante || Tangente
| Sekante || Tangente
|-
|-
| <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}</math> || <math> \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math>
| Differenzenquotient || Differenzialquotient
|-
|-
| die Steigung zwischen zwei Punkten || die Steigung im Punkt P
| die Steigung zwischen zwei Punkten || die Steigung im Punkt P
Zeile 146: Zeile 142:
|-
|-
| die Durchschnittsgeschwindigkeit || die Momentangeschwindigkeit
| die Durchschnittsgeschwindigkeit || die Momentangeschwindigkeit
</popup>}}
</popup>
}}
 
{{Aufgaben|3: Änderungsraten im Sachzusammenhang|


{{Aufgaben|4: Änderungsraten im Sachzusammenhang| 
Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt:


''<math>s(t)=10t-t^2</math>''    für  <math>t\in [0;5]</math>


Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt:
'''a)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.


        ''<math>s(t)=10t-t^2</math>''    für  <math>t\in [0;5]</math>
<popup name="Tipp 1">Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit.</popup>


'''a)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.
<popup name="Tipp 2">Zur Berechnung der momentanen Geschwindigkeit musst du die Ableitung der Funktion bilden.</popup>


'''b)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.
'''b)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.
Zeile 161: Zeile 161:
'''c)''' Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für <math>t=6</math> keinen Sinn?  
'''c)''' Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für <math>t=6</math> keinen Sinn?  


<popup name="Tipp zu (ii)">Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit. Zur Berechnung bilde die Ableitung der Funktion.</popup>


<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pg7j9c1ek18" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pg7j9c1ek18" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>


<popup name="Lösung (i)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.</popup>
<popup name="Lösung a)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt, denn <math>s(3)=10*3-3^2=30-9=21</math>. Nach 5 Sekunden hat er 25 Meter zurückgelegt, denn es gilt <math>s(5)=10*5-5^2=50-25=25</math>.</popup>


<popup name="Lösung (ii)">Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.</popup>
<popup name="Lösung b)">Die momentane Änderungsrate <math>s'(t)=10-2t</math> entspricht der Geschwindigkeit. <math>s'(3)=10-2*3=10-6=4</math> und <math>s'(5)=10-2*5=10-10=0</math>.</popup>


<popup name="Lösung (iii)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da Tim nach 5 Sekunden schon stehen geblieben ist.</popup>
<popup name="Lösung c)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich <math>t\in [0;5]</math> gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden schon stehen geblieben ist.</popup>
}}
}}


==Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate==
==Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate==

Version vom 16. November 2018, 11:16 Uhr


Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der mittleren und lokalen Änderungsrate.

In Aufgabe 1 geht es darum, die mittlere Änderungsrate zu berechnen. Dies erfolgt in Teilaufgabe a) anhand von Rechenbeispielen. In b) hingegen übst du mittlere Änderungsraten im Sachzusammenhang zu berechnen. Dies ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher im Umgang mit mittleren Änderungsraten bist, kannst du diese Aufgabe auch überspringen.

In Aufgabe 2 beschäftigst du dich mit der Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate. In Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. In Teilaufgabe c) musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.

Den Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate erarbeitest du in Aufgabe 3. Teilaufgabe a) ist eine Förderaufgabe. In Teilaufgabe b) geht es um die graphischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe.


Bestimmung von mittleren Änderungsraten

Aufgabe 1: Berechnung der mittleren Änderungsrate
{{{2}}}


Aufgabe 2: Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext


Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):

Datei:Diwerspng.PNG




Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.

a) Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?


(!30) (!2,4) (!24) (!29,71) (26)

<popup name="Tipp "> In dieser Aufgabe wird die mittlere Änderungsrate im Intervall gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du diese berechnen kannst, lies in den Tipps zu Aufgabe 1 nach. </popup> <popup name="Lösung"> Um herauszufinden, wie viele Mitglieder seit 2010 in deinem Verein durchschnittlich pro Jahr hinzugekommen sind, musst du die mittlere Änderungsrate im Intervall [2010, 2018] bestimmen. Wir können sagen, dass f(x) die Funktion ist, die jeder Jahreszahl ab 2010 die Anzahl der Mitglieder in diesem Jahr zuordnet. Dann ist f(2010)=210 und f(2018)=418. Mit diesen Werten kannst du jetzt die mittlere Änderungsrate bestimmen:

Aus der mittleren Änderungsrate kannst du nun ablesen, dass seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr 26 Mitglieder in deinem Verein hinzugekommen sind. </popup>

b) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?

(Ja, es ist Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen.) (!Nein, sie haben ihr Ziel nicht erreicht.) (!Sowohl vor der Wahl als auch nach der Wahl des neuen Vorstands sind im Durchschnitt pro Jahr genau gleich viele Mitglieder dem Verein beigetreten.)

<popup name="Tipp"> Vergleiche die mittlere Änderungsrate in den Jahren vor der Wahl des neuen Vorstands (2010-2016) und nach der Wahl des neuen Vorstands (2016-2018). Wenn du nicht mehr weißt, wie du die mittlere Änderungsrate berechnen kannst, schaue dir die Tipps zu Aufgabe 1 und 2a) nochmal an. </popup> <popup name="Lösung"> Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen.

Um auf diese Lösung zu kommen, musst du die mittleren Änderungsraten in den Jahren vor und nach der Wahl des neuen Vorstands vergleichen.

durchschnittliche Änderungsrate vor der Wahl:

durchschnittliche Änderungsrate nach der Wahl:

Die mittlere Änderungsrate der letzten zwei Jahren ist also höher als die der Jahre davor. Daraus lässt sich schließen, dass der durchschnittliche Mitgliedszuwachs im Verein pro Jahr seit 2016 ein wenig höher ist als es in den Jahren davor der Fall war. </popup>


Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 2: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate
) und Q(


Aufgabe 3: Änderungsraten im Sachzusammenhang
{{{2}}}


Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

Aufgabe 5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate
{{{2}}}


Aufgabe 6: graphischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate
{{{2}}}
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