Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate. In Aufgabe 1 geht es darum, die mittlere Änderungsrate zu berechnen. Dies erfolgt in Teilaufgabe a) anhand von Rechenbeispielen, in b) hingegen übst du mittlere Änderungsraten im Sachzusammenhang zu berechnen. Dies ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher bist im Umgang mit mittleren Änderungsraten, kannst du diese Aufgabe auch überspringen. Bei Aufgabe 2 beschäftigst du dich mit der Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate. In Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. In Teilaufgabe c) musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. Den Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate erarbeitest du in Aufgabe 3. Teilaufgabe a) ist eine Förderaufgabe. In Teilaufgabe b) geht es um die graphischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe.

Bestimmung von mittleren Änderungsraten

Aufgabe 1: Berechnung der mittleren Änderungsrate

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(!30) (!2,4) (!24) (!29,71) (26)

<popup name="Tipp "> In dieser Aufgabe wird die mittlere Änderungsrate im Intervall $[2010, 2018]$ gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du diese berechnen kannst, lies in den Tipps zu Aufgabe 1 nach. </popup> <popup name="Lösung"> Um herauszufinden, wie viele Mitglieder seit 2010 in deinem Verein durchschnittlich pro Jahr hinzugekommen sind, musst du die mittlere Änderungsrate im Intervall [2010, 2018] bestimmen. Wir können sagen, dass f(x) die Funktion ist, die jeder Jahreszahl ab 2010 die Anzahl der Mitglieder in diesem Jahr zuordnet. Dann ist f(2010)=210 und f(2018)=418. Mit diesen Werten kannst du jetzt die mittlere Änderungsrate bestimmen:

$\frac {f(2018)-f(2010)} {2018-2010}= \frac {418-210} {2018-2010}= \frac {208} {8}= 26$

Aus der mittleren Änderungsrate kannst du nun ablesen, dass seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr 26 Mitglieder in deinem Verein hinzugekommen sind. </popup>

2. Der aktuelle Vorstand arbeitet seit Anfang 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollten im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016. Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?

(Ja, es ist Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen.) (!Nein, sie haben ihr Ziel nicht erreicht.) (!Sowohl vor der Wahl als auch nach der Wahl des neuen Vorstands sind im Durchschnitt pro Jahr genau gleich viele Mitglieder dem Verein beigetreten.)

<popup name="Lösung"> Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen, denn in den sechs Jahren zuvor (2016-2010=6) sind insgesamt 365-210=155 Mitglieder hinzugekommen, d.h. im Durchschnitt stieg die Mitgliederzahl um 155/6= 25,83 Mitglieder pro Jahr. In den letzten zwei Jahren (2018-2016=2) kamen noch insgesamt 418-365= 53 Mitglieder hinzu, d.h die Mitgliederzahl wuchs im Durchschnitt um 53/2= 26,5 Mitglieder pro Jahr. Die durchschnittliche Änderung der Mitgliedszahlen war in den letzten zwei Jahren also höher als in den Jahren davor. </popup>

Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 2:

$f(x_0)$) und Q($x_1$

Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

Aufgabe 3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

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