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Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

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Aufgabe 1

Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten

1a Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den angegebenen Intervallen.

$1. f(x)=4x+2$ im Intervall $[2,5]$

$2. f(x)=x^2$ im Intervall $[2,7]$

$3. f(x)=x^3-2$ im Intervall $[-2,1]$

<popup name="Tipp 1"> Die durchschnittliche Änderungsrate in einem Intervall [x₀, x₁] berechnet man so: $\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}$.</popup> <popup name="Tipp 2 (zu 3.)"> Achte auf die Vorzeichen!</popup>

<popup name="Lösung">1. (22-10)/ (5-2)= 12/3= 4 2. (49-4)/ (7-2)= 45/5= 9 3. ((-1)-(-10))/ (1-(-2))= 9/3= 3(</popup>

1b) Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):

Jahr	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
Anzahl der Mitglieder zu Beginn des Jahres	210	297	336	351	371	342	365	387	418

Leider hat der Vorstand in seiner eigenen Schulzeit in Mathe nicht sehr gut aufgepasst und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.

1. Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?

(!30) (!2,4) (!24) (!29,71) (26)

2. Der aktuelle Vorstand arbeitet seit Anfang 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollten im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016. Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?

(Ja, es ist Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen.) (!Nein, sie haben ihr Ziel nicht erreicht.) (!Sowohl vor der Wahl als auch nach der Wahl des neuen Vorstands sind im Durchschnitt pro Jahr genau gleich viele Mitglieder dem Verein beigetreten.)

<popup name="Lösung"> Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen, denn in den sechs Jahren zuvor (2016-2010=6) sind insgesamt 365-210=155 Mitglieder hinzugekommen, d.h. im Durchschnitt stieg die Mitgliederzahl um 155/6= 25,83 Mitglieder pro Jahr. In den letzten zwei Jahren (2018-2016=2) kamen noch insgesamt 418-365= 53 Mitglieder hinzu, d.h die Mitgliederzahl wuchs im Durchschnitt um 53/2= 26,5 Mitglieder pro Jahr. Die durchschnittliche Änderung der Mitgliedszahlen war in den letzten zwei Jahren also höher als in den Jahren davor. </popup>

Aufgabe 2: Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate

Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.

<popup name="Hinweis Differenzenquotient">Die Formel $\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}$ stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [$x_1$;$x_2$] an. Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch zwei Punkte. </popup>

<popup name="Hinweis Differenzialquotient">Die Formel $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist anschaulich der Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich der Punkt $Q(x_0+h|f(x_0+h))$ auf den Punkt P $P(x_0|f(x_0))$ zu bewegt. Also ist es die Steigung der Tangente in P und entspricht der Ableitung in $x_0$.</popup>

Aufgabe 2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a

Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.

<popup name="Lösung" >{| class="wikitable" |- ! mittlere Änderungsrate !! momentane Änderungsrate |- | Sekante || Tangente |- | $\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}$ || $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ |- | die Steigung zwischen zwei Punkten || die Steigung im Punkt P |- | die durchschnittliche Steigung || die Ableitung an der Stelle x₀ |- | die Durchschnittsgeschwindigkeit || die Momentangeschwindigkeit </popup>

Aufgabe 2c: Änderungsraten im Sachzusammenhang

Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt:

        $s(t)=10t-t^2$    für  $t\in [0;5]$

(i) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.

(ii) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt.

(iii) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für $t=6$ keinen Sinn?

<popup name="Hinweis zu (ii)">Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit</popup>

<popup name="Lösung (i)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.</popup>

<popup name="Lösung (ii)">Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.</popup>

<popup name="Lösung (iii)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da Tim bei t=5 schon abgebremst hat.</popup>

Aufgabe 3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

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In der folgenden Tabelle siehst du einige x- und y-Werte aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten von x=2 mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.

x-Werte	y-Werte	Differentialquotient f(1)-f(x)/1-x
1,9	2,595	-0,95
1,95	2,5488	-0,976
1,96	2,5392	-0,98
1,97	2,5296	-0,9866
1,98	2,5198	-0,99
1,99	2,50995	-0,995
2	2,5	?

1) Beschreibe was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.

2) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt x=2? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen?

<popup name="Lösung zu 1)">Je näher man den x-Wert an 2 annähert, desto kleiner wird der Wert des Differenzenquotienten. Er nähert sich von anfänglich -0,95 immer näher an -1 an. So liegt der Wert des Differenzenquotienten bei 1,99 bei -0,995.</popup>

<popup name="Lösung zu 2)"> Wenn der Differenzenquotient einen bestimmten Wert, z.B. 0,95 bei x=1,9, annimmt, entspricht dies der durchschnittlichen Änderungsrate der Funktion im Intervall [1,9;2]. Wenn man kleinere Intervalle betrachtet, nähert sich der Differenzenquotient 1 an. Das bedeutet, in der Umgebung von x=2 liegt die Änderungsrate nahe bei 1. Da die Änderungsrate in einem Punkt von dem Differentialquotient angegeben wird, entspricht der der Grenzwert des Differenzenquotienten $\lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}$ dem Differentialquotienten. Letzterer gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x=2 an.</popup>

b)Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des Δx-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert. Fülle dann den folgenden Lückentext aus.

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