Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen
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Main>Julia WWU3 Keine Bearbeitungszusammenfassung |
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===Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten=== | ===Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten=== | ||
{{Aufgaben|1a)|Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den angegebenen Intervallen. | {{Aufgaben|1a)|Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den angegebenen Intervallen. | ||
<math>1. f(x)=4x+2</math> im Intervall <math>[2,5]</math> | <math>1. f(x)=4x+2</math> im Intervall <math>[2,5]</math> | ||
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'''b)''' Dein Sportverein feiert dieses Jahr achtjähriges Bestehen. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht: | |||
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<popup name="Lösung"> | <popup name="Lösung"> | ||
Nein, ihnen ist es nicht gelungen ihr Ziel zu erreichen, denn in den fünf Jahren zuvor sind insgesamt 365-210=155 Mitglieder hinzugekommen, d.h. im Durchschnitt stieg die Mitgliederzahl um 155/5= '''31 Mitglieder pro Jahr'''. In den letzten zwei Jahren kamen noch insgesamt 411-365= 46 Mitglieder hinzu, d.h die Mitgliederzahl wuchs im Durchschnitt um 46/2= '''23 Mitglieder pro Jahr'''. Die durchschnittliche Änderung der Mitgliedszahlen war in den letzten zwei Jahren also geringer als in den Jahren davor. | Nein, ihnen ist es nicht gelungen ihr Ziel zu erreichen, denn in den fünf Jahren zuvor sind insgesamt 365-210=155 Mitglieder hinzugekommen, d.h. im Durchschnitt stieg die Mitgliederzahl um 155/5= '''31 Mitglieder pro Jahr'''. In den letzten zwei Jahren kamen noch insgesamt 411-365= 46 Mitglieder hinzu, d.h die Mitgliederzahl wuchs im Durchschnitt um 46/2= '''23 Mitglieder pro Jahr'''. Die durchschnittliche Änderung der Mitgliedszahlen war in den letzten zwei Jahren also geringer als in den Jahren davor. | ||
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Version vom 13. Oktober 2018, 09:09 Uhr
Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate
Infokästchen, dessen Text noch eingefügt werden muss |
Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten
Aufgabe 2: Unterscheidung der Änderungsraten
<popup name="Hinweis Differenzenquotient">Die Formel stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [;] an.
Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch zwei Punkte.
</popup>
<popup name="Hinweis Differenzialquotient">Die Formel heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist anschaulich der Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich der Punkt auf den Punkt P zu bewegt. Also ist es die Steigung der Tangente in P und entspricht der Ableitung in .</popup>
<popup name="Lösung" >{| class="wikitable" |- ! mittlere Änderungsrate !! momentane Änderungsrate |- | Sekante || Tangente |- | || |- | die Steigung zwischen zwei Punkten || die Steigung im Punkt P |- | die durchschnittliche Steigung || die Ableitung an der Stelle x0 |- | die Durchschnittsgeschwindigkeit || die Momentangeschwindigkeit </popup>
<popup name="Hinweis zu (ii)">Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit</popup>
<popup name="Lösung (i)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.</popup>
<popup name="Lösung (ii)">Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.</popup>
<popup name="Lösung (iii)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da Tim bei t=5 schon abgebremst hat.</popup>