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Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Infokästchen, dessen Text noch eingefügt werden muss

Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten

Aufgabe 1a)

Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den angegebenen Intervallen.

$1. f(x)=4x+2$ im Intervall $[2,5]$

$2. f(x)=x^2$ im Intervall $[2,7]$

$3. f(x)=x^3-2$ im Intervall $[-2,1]$

<popup name="Tipp 1"> Die durchschnittliche Änderungsrate in einem Intervall [x₀, x₁] berechnet man so: $\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}$.</popup> <popup name="Tipp 2 (zu 3.)"> Achte auf die Vorzeichen!</popup>

<popup name="Lösung">1. 4 2. 2 3. 3</popup>

Aufgabe 1b)

Dein Sportverein feiert dieses Jahr achtjähriges Bestehen. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht:

Jahr	1	2	3	4	5	6	7	8
Anzahl der Mitglieder am Ende des Jahres	210	336	351	371	342	365	387	411

Leider hat der Vorstand in seiner eigenen Schulzeit in Mathe nicht sehr gut aufgepasst und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.

1) Wie viele Mitglieder sind seit Beginn der Mitgliedererfassung im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen? Runde bitte auf zwei Nachkommastellen genau und überprüfe anschließend deine Lösung!

Seit Beginn der Mitgliedererfassung sind im Durchschnitt pro Jahr diese Anzahl an Mitgliedern zum Verein gekommen: (!25,13) (!22,30) (!31,74) (!2,23) (28,71)

2) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit zwei Jahren zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitglieder. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren zuvor. Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?

<popup name="Lösung"> Nein, ihnen ist es nicht gelungen ihr Ziel zu erreichen, denn in den fünf Jahren zuvor sind insgesamt 365-210=155 Mitglieder hinzugekommen, d.h. im Durchschnitt stieg die Mitgliederzahl um 155/5= 31 Mitglieder pro Jahr. In den letzten zwei Jahren kamen noch insgesamt 411-365= 46 Mitglieder hinzu, d.h die Mitgliederzahl wuchs im Durchschnitt um 46/2= 23 Mitglieder pro Jahr. Die durchschnittliche Änderung der Mitgliedszahlen war in den letzten zwei Jahren also geringer als in den Jahren davor. </popup>

Aufgabe 2: Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate

Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.

<popup name="Hinweis Differenzenquotient">Die Formel $\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}$ stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [$x_1$;$x_2$] an. Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch zwei Punkte. </popup>

<popup name="Hinweis Differenzialquotient">Die Formel $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist anschaulich der Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich der Punkt $Q(x_0+h|f(x_0+h))$ auf den Punkt P $P(x_0|f(x_0))$ zu bewegt. Also ist es die Steigung der Tangente in P und entspricht der Ableitung in $x_0$.</popup>

Aufgabe 2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a

Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.

<popup name="Lösung" >{| class="wikitable" |- ! mittlere Änderungsrate !! momentane Änderungsrate |- | Sekante || Tangente |- | $\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}$ || $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ |- | die Steigung zwischen zwei Punkten || die Steigung im Punkt P |- | die durchschnittliche Steigung || die Ableitung an der Stelle x₀ |- | die Durchschnittsgeschwindigkeit || die Momentangeschwindigkeit </popup>

Aufgabe 2c: Änderungsraten im Sachzusammenhang

Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt:

        $s(t)=10t-t^2$    für  $t\in [0;5]$

(i) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.

(ii) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt.

(iii) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für $t=6$ keinen Sinn?

<popup name="Hinweis zu (ii)">Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit</popup>

<popup name="Lösung (i)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.</popup>

<popup name="Lösung (ii)">Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.</popup>

<popup name="Lösung (iii)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da Tim bei t=5 schon abgebremst hat.</popup>

Aufgabe 3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

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a) Sieh dir zunächst die Formeln im unteren Bereich der Darstellung an. Durch Verschieben des h-Knopfs verändern sich die Werte. Probiere dies aus und fülle den folgenden Lückentext aus.

b)