Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen
Main>Julia WWU3 Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Main>Tina WWU3 |
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{{Aufgaben|2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate|Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu. | {{Aufgaben|2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate|Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu. | ||
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=764461" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}} | <iframe src="https://learningapps.org/watch?app=764461" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}} | ||
<popup name="Hinweis Differenzenquotient">Die Formel <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}</math> stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über den Intervall [<math>x_1</math>;<math>x_2</math>] an. | |||
Geometrisch gedeutet ist dieser Quptient die Steigung der Sekaqnte durch zwei Punkte. | |||
[[File:Afgeleide.svg|Geometrische Betrachtung des Differenzenquotienten|200px]]</popup> | |||
<popup name="Hinweis Differenzialquotient">Die Formel <math> \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math> heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist anschaulich der Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich der Punkt <math>Q(x_0+h|f(x_0+h))</math> auf den Punkt P <math>P(x_0|f(x_0))</math> zu bewegt. Also ist es die Steigung der Tangente in P und entspricht der Ableitung in <math>x_0</math>.</popup> | |||
{{Aufgaben|2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a|Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.}} | {{Aufgaben|2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a|Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.}} | ||
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</popup> | </popup> | ||
''s(t)=10t | {{Aufgaben|2c: Änderungsraten im Sachzusammenhang|Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit (t in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt: | ||
''<math>s(t)=10t+t^2</math>'' für <math>t\in [0;5]</math> | |||
'''(i)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. | '''(i)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. | ||
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'''(ii)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt. | '''(ii)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt. | ||
'''(iii)''' Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für t=6 keinen Sinn? | '''(iii)''' Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für <math>t=6</math> keinen Sinn? | ||
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<popup name="Hinweis zu (ii)">Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit</popup> | |||
<popup name="Lösung (i)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.</popup> | <popup name="Lösung (i)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.</popup> | ||
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<popup name="Lösung (ii)">Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.</popup> | <popup name="Lösung (ii)">Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.</popup> | ||
<popup name="Lösung (iii)">Die angegebene | <popup name="Lösung (iii)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da Tim bei t=5 schon abgebremst hat.</popup> | ||
{{Aufgaben |3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate| | {{Aufgaben |3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate| | ||
Version vom 12. Oktober 2018, 10:14 Uhr
Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate
Infokästchen, dessen Text noch eingefügt werden muss |
Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten
im Intervall
im Intervall
im Intervall
<popup name="Tipp 1">
Die durchschnittliche Änderungsrate in einem Intervall [x0, x1] berechnet man so:
.</popup>
<popup name="Tipp 2 (zu 3.)">
Achte auf die Vorzeichen!</popup>
<popup name="Lösung">1. 4 2. 2 3. 3</popup>
Jahr | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Anzahl der Mitglieder am Ende des Jahres | 210 | 336 | 351 | 371 | 342 | 365 | 387 | 411 |
Leider hat der Vorstand in seiner eigenen Schulzeit in Mathe nicht sehr gut aufgepasst und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.
1) Wie viele Mitglieder sind seit Beginn der Mitgliedererfassung im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen? Runde bitte auf zwei Nachkommastellen genau und überprüfe anschließend deine Lösung!
Seit Beginn der Mitgliedererfassung sind im Durchschnitt pro Jahr diese Anzahl an Mitgliedern zum Verein gekommen: (!25,13) (!22,30) (!31,74) (!2,23) (28,71)
2) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit zwei Jahren zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitglieder. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren zuvor. Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?
<popup name="Lösung"> Nein, ihnen ist es nicht gelungen ihr Ziel zu erreichen, denn in den fünf Jahren zuvor sind insgesamt 365-210=155 Mitglieder hinzugekommen, d.h. im Durchschnitt stieg die Mitgliederzahl um 155/5= 31 Mitglieder pro Jahr. In den letzten zwei Jahren kamen noch insgesamt 411-365= 46 Mitglieder hinzu, d.h die Mitgliederzahl wuchs im Durchschnitt um 46/2= 23 Mitglieder pro Jahr. Die durchschnittliche Änderung der Mitgliedszahlen war in den letzten zwei Jahren also geringer als in den Jahren davor. </popup>
Aufgabe 2: Unterscheidung der Änderungsraten
<popup name="Hinweis Differenzenquotient">Die Formel stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über den Intervall [;] an.
Geometrisch gedeutet ist dieser Quptient die Steigung der Sekaqnte durch zwei Punkte.
</popup>
<popup name="Hinweis Differenzialquotient">Die Formel heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist anschaulich der Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich der Punkt auf den Punkt P zu bewegt. Also ist es die Steigung der Tangente in P und entspricht der Ableitung in .</popup>
<popup name="Lösung" >{| class="wikitable" |- ! mittlere Änderungsrate !! momentane Änderungsrate |- | Sekante || Tangente |- | || |- | die Steigung zwischen zwei Punkten || die Steigung im Punkt P |- | die durchschnittliche Steigung || die Ableitung an der Stelle x0 |- | die Durchschnittsgeschwindigkeit || die Momentangeschwindigkeit </popup>
<popup name="Hinweis zu (ii)">Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit</popup>
<popup name="Lösung (i)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.</popup>
<popup name="Lösung (ii)">Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.</popup>
<popup name="Lösung (iii)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da Tim bei t=5 schon abgebremst hat.</popup>