Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Graphisches Ableiten
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Aufgabe 1 Graphen zuordnen
<popup name="Tipp 1">In welchen Intervallen steigen oder fallen die Graphen von f(x)? Wie sieht hier die Ableitung aus?</popup> <popup name="Tipp 2">Schau dir die Graphen von f(x) an, erkennst du markante Punkte?</popup> <popup name="Tipp 3">Markante Punkte sind Hoch-/Tiefpunkte (Extremstellen), Wendestellen, Sattelpunkte und Nullstellen. Wie ist hier der Zusammenhang von Funktion und Ableitung?</popup> <popup name="Tipp 4">Wo der Graph fällt, ist die Ableitung negativ. Wo der Graph steigt, ist die Ableitung positiv. Bei einer Extremstelle des Graphen hat die Ableitung eine Nullstelle.</popup>
Aufgabe 2 Wie sieht der Ableitungsgraph aus?
Aufgabe 3 Teste dein Wissen!
<popup name="Tipp 500">Welchen Grad hat beispielsweise die Funktion f(x)=x²?</popup> <popup name="Tipp 1000">Die Tangente berührt den Graphen in einem Punkt. Sie gibt Auskunft über die Steigung an dieser Stelle. Überlege, welche Steigung diese "besondere" Tangente hat.</popup> <popup name="Tipp 5000">"Oberhalb" der x-Achse bedeutet: f'(x) ist positiv.</popup> <popup name="Tipp 50000">Die allgemeine lineare Funktionsgleichung lautet: f(x)=mx+b.</popup> <popup name="Tipp 250000">An einer Wendestelle ist die Steigung maximal bzw. minimal.</popup> <popup name="Tipp 1000000">Denke an notwendige und hinreichende Bedingungen einer Wendestelle.</popup>
Aufgabe 4 Wie sieht der Graph von f(x) aus?
<popup name="Tipp 1">Was sagt die Nullstelle einer Ableitung über ihre Stammfunktion aus?</popup>
<popup name="Tipp 2">Was bedeuten negative beziehungsweise positive Funktionswerte der Ableitungsfunktion für ihre Stammfunktion?</popup>
<popup name="Tipp 3">Liegt eine Nullstelle in der Ableitung vor, hat die Stammfunktion hier eine Extremstelle. Verläuft die Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse, so fällt die Stammfunktion auf diesem Intervall. Für einen Verlauf oberhalb der x-Achse steigt die Stammfunktion.</popup>
<popup name="Tipp 4">Gibt es nur eine Möglichkeit, wie der Funktionsgraph verlaufen kann? Wie verändert eine Konstante den Verlauf von f(x) und was passiert mit ihr, wenn man f(x) ableitet?</popup>
Aufgabe 5 Sonnenstunden
Die Funktion f(x) beschreibt die Sonnenstunden eines Monats im vergangenen Jahr, dabei stehen die x-Werte für die einzelnen Monate (1=Jan, ..., 12=Dez) und die Funktionswerte für die Gesamtsumme der Sonnenstunden im Monat. Die Funktion nimmt die folgenden Werte an:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
f(x) | 77 | 57 | 148 | 138 | 201 | 194 | 188 | 168 | 116 | 90 | 25 | 13 |
a) Skizziere die Funktion und ihre Ableitung in dein Heft.
b) Die Daten sollen durch ein Programm verarbeitet werden. Dazu wird eine Funktionsgleichung benötigt. Welchen Grad muss diese Funktion haben?
c) Welchen Grad hat die Ableitung?
d) Wann ändert sich die Anzahl der Sonnenstunden am stärksten? Begründe mit Hilfe der Ableitung.
<popup name="Tipp 1">Trage die Werte in ein ausreichend großes Koordinatensystem ein, verbinde die Punkte in sinnvoller Weise.</popup> <popup name="Tipp 2">Wie viele Extrema gibt es?</popup> <popup name="Tipp 3">Wie hilft dir hier die zweite Aufgabe?</popup> <popup name="Tipp 4">Wo nimmt die Ableitung den größten oder kleinsten Wert an? (Für 1 < x < 12)</popup>