Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Graphisches Ableiten
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Aufgabe 1: Graphen zuordnen
<popup name="Tipp 1">In welchen Intervallen steigen oder fallen die Graphen von f(x)? Wie sieht hier die Ableitung aus?</popup> <popup name="Tipp 2">Schau dir die Graphen von f(x) an, erkennst du markante Punkte?</popup> <popup name="Tipp 3">Markante Punkte sind Hoch-/Tiefpunkte (Extremstellen) und Nullstellen, wie ist hier der Zusammenhang von Funktion und Ableitung</popup> <popup name="Lösung">Wo der Graph fällt, ist die Ableitung negativ. Wo der Graph steigt, ist die Ableitung positiv. Bei einer Extremstelle des Graphen hat die Ableitung eine Nullstelle.</popup>
Aufgabe 2: Lückentext
Aufgabe 3: Wer wird Millionär?
<popup name="Tipp 500">Welchen Grad hat beispielsweise die Funktion f(x)=x²?</popup> <popup name="Tipp 1000">Die Tangente berührt den Graphen in einem Punkt. Sie gibt Auskunft über die Steigung an dieser Stelle. Überlege, welche Steigung diese "besondere" Tangente hat.</popup> <popup name="Tipp 5000">"Oberhalb" der x-Achse bedeutet: f'(x) ist positiv.</popup> <popup name="Tipp 50000">Allgemeine lineare Funktionsgleichung: f(x)=mx+b</popup> <popup name="Tipp 250000">An einer Wendestelle ist die Steigung maximal bzw. minimal</popup> <popup name="Tipp 1000000">Denke an notwendige und hinreichende Bedingungen einer Wendestelle</popup>
Aufgabe 4: Skizzieren
<popup name="Tipp 1">Was sagt die Nullstelle einer Ableitung über ihre Stammfunktion aus?</popup>
<popup name="Tipp 2">Was bedeuten negative beziehungsweise positive Funktionswerte der Ableitungsfunktion für ihre Stammfunktion?</popup>
<popup name="Tipp 3">Liegt eine Nullstelle in der Ableitung vor, hat die Stammfunktion hier eine Extremstelle. Verläuft die Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse, so fällt die Stammfunktion auf diesem Intervall. Für einen Verlauf oberhalb der x-Achse steigt die Stammfunktion.</popup>
<popup name="Tipp 4">Gibt es nur eine Möglichkeit, wie der Funktionsgraph verlaufen kann? Wie verändert eine Konstante den Verlauf von f(x) und was passiert mit ihr, wenn man f(x) ableitet?</popup>
Aufgabe 5: Sonnenstunden
Die Funktion f(x) beschreibt die Sonnenstunden eines Monats im vergangenen Jahr, dabei stehen die x-Werte für die einzelnen Monate (1=Jan, ..., 12=Dez) und die Funktionswerte für die Gesamtsumme der Sonnenstunden im Monat. Die Funktion nimmt die folgenden Werte an:
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
f(X) | 77 | 57 | 148 | 138 | 201 | 194 | 188 | 168 | 116 | 90 | 25 | 13 |
- Skizziere die Funktion und ihre Ableitung in dein Heft.
- Die Daten sollen durch ein Programm verarbeitet werden. Dazu wird eine Funktionsgleichung benötigt. Welchen Grad muss diese Funktion haben?
- Welchen Grad hat die Ableitung?
- Wann ändert sich die Anzahl der Sonnenstunden am stärksten? Begründe mit Hilfe der Ableitung.
<popup name="Tipp 1">Trage die Werte in ein ausreichend großes Koordinatensystem ein, verbinde die Punkte in sinnvoller Weise.</popup> <popup name="Tipp 2">Wie viele Extrema gibt es?</popup> <popup name="Tipp 3">Wie hilft dir hier die zweite Aufgabe?</popup> <popup name="Tipp 4">Wo nimmt die Ableitung den größten oder kleinsten Wert an? (Für 1 < x < 12)</popup>