Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten

Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen. Aufgabe 1 bietet dir die Möglichkeit, die charakteristischen Merkmale des Differenzial- und des Differenzquotienten zu wiederholen. In Aufgabe 2, 3 und 4 könnt ihr an verschiedenen Sachverhalten den Umgang mit dem Differezen- und dem Differentialquotienten üben. Aufgabe 5 geht einen Schritt weiter und beinhaltet einige Rechenaufgaben. Auch hier ist nochmal ein anderer Sachzusammenhang zugrunde liegend. Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben! :)

Aufgabe 1: Unterschied zwischen Differenzen- und Differentialquotient

Aufgabe 1

Aufgabe 2: Alkoholgehalt

Aufgabe 2

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Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier: <popup name="Tipp"> Nutze Aufgabe 1, um dir die beiden Begriffe Differenzen- und Differenzialquotient deutlich zu machen. </popup>

<popup name="Tipp"> Ein kleines Beispiel, wie du die Einheit der durchschnittlichen Änderung mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmen kannst: Sei $f(t)$ eine Funktion mit $t$ = Zeit in Stunden und $f(t)$ = Strecke in km . Der Differenzenquotient lautet ja ganz allgemein $\frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}$. Da $f(t)$ nach der Aufgabenstellung die Einheit km hat, steht im Zähler des Differenzenquotienten auch die Einheit km. Da $t$ die Einheit Stunden hat, steht im Nenner dementsprechend die Einheit Stunden. Es ergibt sich also für die durchschnittliche Änderung der Strecke die Einheit $\frac{km}{h}$ </popup>

Hier findest du die Lösungen:

<popup name="Lösung"> zu den ersten beiden Lücken: In einem Graphen ist die y-Achse immer in Abhängigkeit von der x-Achse.

3. und 4. Lücke: Der Differenzenquotient beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem bestimmten Intervall.

5. Lücke: Man berechnet mit dem Differenzenquotienten $\frac {f(2) - f(0)}{2 h - 0 h} = \frac {0,55 mg/L - 0 mg/L}{2 h - 0 h} = 0,2665 \frac{mg}{L * h}$.

6. und 7. Lücke : Der berechnete Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante im entsprechenden Intervall $[0,2]$.

8. Lücke: Im Schnitt nimmt die Medikamentenkonzentration in den ersten zwei Stunden mit einer Geschwindigkeit von $0,2665 \frac{mg}{L}$ pro Stunde zu.

9. und 10. Lücke: Momentane Änderungsraten bestimmst du mit dem Differenzailquotienten (Ableitung).

11. Lücke: Die momentane Änderungsrate hat die gleiche Einheit wie die durchschnittliche Änderungsrate ( $\frac{mg}{L}$ pro Stunde ).

12. und 13. Lücke: Die momentane Änderungsrate in einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Aus der Skizze kann man entnehmen, dass die Tangentensteigung in den ersten zwei Stunden durchgehend positiv ist. </popup>

Aufgabe 3: Besucherzahl im Bundestag

Nachdem im Politikunterricht das deutsche politische System behandelt wurde, soll nun ein Ausflug zum Deutschen Bundestag geplant werden. Doch bevor der Kursausflug startet, sollen die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr analysiert werden.

Die nachfolgende Tabelle stellt die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr dar:

Uhrzeit	10.00	11.00	12.00	13.00	14.00	15.00	16.00	17.00	18.00
Besucherzahl	375	270	400	475	512	520	520	350	320

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Aufgabe 3a)

Aufgabe 3b)

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Aufgabe 3c)

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Aufgabe 4: Differenzen- und Differentialquotient im Sachzusammenhang

Schaue dir die vier Graphen an und beantworte mithilfe des Differenzen- und Differentialquotienten die anschließenden Fragen <popup name="Tipp">Für Frage 2 und 4 musst du den Differentialquotienten durch eine Näherung mithilfe des Differenzenquotienten abschätzen.</popup>

Aufgabe 4

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Aufgabe 5:Preis- und Nachfrageberechnung mithilfe von Differenzen- und Differentialquotient

Die Menge $M$ einer bestimmten Ware, die zum Preis $p$ verkauft werden kann, lässt sich durch folgende Beziehung beschreiben: $M(p)=-250p^2+156250$.

Aufgabe 5a)

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Aufgabe 5b)

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