Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten: Unterschied zwischen den Versionen
Main>Niklas WWU3 Keine Bearbeitungszusammenfassung |
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| durchschnittliche Änderungsrate || momentane Änderungsrate | | durchschnittliche Änderungsrate || momentane Änderungsrate | ||
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| <math>f(x)-f(x_0)</math> || <math> | | <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> || <math>f′(x_0)</math> | ||
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<popup Name="Tipp">Die Formel für den Differenzenquotienten lautet: <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math></popup> | <popup Name="Tipp">Die Formel für den Differenzenquotienten lautet: <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math></popup> | ||
<popup Name="Tipp">Überlege dir genau, was du mit dem Differenzenquotienten ausgerechnet hast und erinnere dich an die Beschreibung "durchschnittliche Änderungsrate".</popup> | <popup Name="Tipp">Überlege dir genau, was du mit dem Differenzenquotienten ausgerechnet hast und erinnere dich an die Beschreibung "durchschnittliche Änderungsrate".</popup> | ||
<popup Name="Lösung">Um den Nachfragerückgang zu berechnen bildet man die Differenz der Nachfragen bei verschiedenen Preisen. Man rechnet für die ersten beiden Lücken beispielhaft: <math>M(12)-M(10)=-250×12^2+156250-(-250×10^2+156250)=-11000</math>. Das Ergebnis -11000 bedeutet, dass die Nachfrage um 11000 Stück zurückgegangen ist. Für den Rückgang je € benötigt man den Differenzenquotienten. Den Zähler habt ihr bereits berechnet, daher ist das vorherige Ergebnis nur noch durch <math>x-x_0</math> zu teilen (im Beispiel (12-10)). Somit ergibt sich für die Lücken:\\ | |||
1. Lücke: 11000 \\ 2. Lücke: 43750 \\ 3. Lücke: 5500 \\ 4. Lücke: 8750</popup> | |||
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{{Aufgaben|5b)|Mit welchem Nachfragerückgang muss man bei einem Preis von 8€ (15€, 20€) rechnen? Bei welchem Preis ist die Ware unverkäuflich? Rechne auch hier zuerst in deinem Heft. Danach kannst du die Lösung in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob sie stimmt. | {{Aufgaben|5b)|Mit welchem Nachfragerückgang muss man bei einem Preis von 8€ (15€, 20€) rechnen? Bei welchem Preis ist die Ware unverkäuflich? Rechne auch hier zuerst in deinem Heft. Danach kannst du die Lösung in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob sie stimmt. | ||
<popup Name="Tipp">Hier muss mit der momentanen Änderungsrate, also der Ableitung, gearbeitet werden.</popup> | |||
<popup Name="Tipp">Die Ableitung ist gegeben durch: <math>M′(p)=-500p</math></popup> | |||
<popup Name="Tipp">Überlege dir, was es heißt, dass die Ware unverkäuflich ist. Welchen Wert muss die Funktion für M(p) annehmen?</popup> | <popup Name="Tipp">Überlege dir, was es heißt, dass die Ware unverkäuflich ist. Welchen Wert muss die Funktion für M(p) annehmen?</popup> | ||
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=php6jpipa18" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=php6jpipa18" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
<popup Name="Lösung">1. Lücke: 4000 \\ 2. Lücke: 7500 \\ 3. Lücke: 10000 \\ Die Ware ist unverkäuflich, wenn <math>M(p)=0</math> gilt. Die Gleichung muss dann nach <math>p</math> aufgelöst werden. Damit: \\ 4. Lücke: 25</popup> | |||
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Version vom 13. November 2018, 08:50 Uhr
Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen.
Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben! :) |
Aufgabe 1: Unterschied zwischen Differenzen- und Differenzialquotient
Aufgabe 2: Alkoholgehalt
Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
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Nutze Aufgabe 1, um dir die beiden Begriffe Differenzen- und Differenzialquotient deutlich zu machen.
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<popup name="Tipp"> Ein kleines Beispiel, wie du die Einheit der durchschnittlichen Änderung mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmen kannst: Sei eine Funktion mit = Zeit in Stunden und = Strecke in km . Der Differenzenquotient lautet ja ganz allgemein . Da nach der Aufgabenstellung die Einheit km hat, steht im Zähler des Differenzenquotienten auch die Einheit km. Da die Einheit Stunden hat, steht im Nenner dementsprechend die Einheit Stunden. Es ergibt sich also für die durchschnittliche Änderung der Strecke die Einheit </popup>
Hier findest du die Lösungen:
<popup name="Lösung"> zu den ersten beiden Lücken: In einem Graphen ist die y-Achse immer in Abhängigkeit von der x-Achse.
3. und 4. Lücke: Der Differenzenquotient beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem bestimmten Intervall.
5. Lücke: Man berechnet mit dem Differenzenquotienten .
6. und 7. Lücke : Der berechnete Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante im entsprechenden Intervall .
8. Lücke: Im Schnitt nimmt die Medikamentenkonzentration in den ersten zwei Stunden mit einer Geschwindigkeit von pro Stunde zu.
9. und 10. Lücke: Momentane Änderungsraten bestimmst du mit dem Differenzailquotienten (Ableitung).
11. Lücke: Die momentane Änderungsrate hat die gleiche Einheit wie die durchschnittliche Änderungsrate ( pro Stunde ).
12. und 13. Lücke: Die momentane Änderungsrate in einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Aus der Skizze kann man entnehmen, dass die Tangentensteigung in den ersten zwei Stunden durchgehend positiv ist. </popup>
Aufgabe 3: Besucherzahl im Bundestag
Nachdem im Politikunterricht das deutsche politische System behandelt wurde, soll nun ein Ausflug zum Deutschen Bundestag geplant werden. Doch bevor der Kursausflug startet, sollen die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr analysiert werden.
Die nachfolgende Tabelle stellt die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr dar:
Uhrzeit | 10.00 | 11.00 | 12.00 | 13.00 | 14.00 | 15.00 | 16.00 | 17.00 | 18.00 |
Besucherzahl | 375 | 270 | 400 | 475 | 512 | 520 | 520 | 350 | 320 |
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Aufgabe 4: Differenzen- und Differentialquotient im Sachzusammenhang
Schaue dir die vier Graphen an und beantworte mithilfe des Differenzen- und Differentialquotienten die anschließenden Fragen <popup name="Tipp">Für Frage 2 und 4 musst du den Differentialquotienten durch eine Näherung mithilfe des Differenzenquotienten abschätzen.</popup>
Aufgabe 5:Preis- und Nachfrageberechnung mithilfe von Differenzen- und Differentialquotient
Die Menge einer bestimmten Ware, die zum Preis verkauft werden kann, lässt sich durch folgende Beziehung beschreiben: . Je größere Werte die Funktion annimmt, desto höher ist also die Nachfrage der Konsumenten zu dieser Ware.