Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten: Unterschied zwischen den Versionen
Main>Niklas WWU3 Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Main>Niklas WWU3 Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
Zeile 159: | Zeile 159: | ||
{{Aufgaben|6: Preis- und Nachfrageberechnung mithilfe von Differenzen- und Differenzialquotient|Passend zum Winter wollen sich die Leute mit Schals eindecken. Die Menge <math>M</math> der Schals, die zum Preis <math>p</math> verkauft werden kann, lässt sich durch folgende Beziehung beschreiben: | {{Aufgaben|6: Preis- und Nachfrageberechnung mithilfe von Differenzen- und Differenzialquotient|Passend zum Winter wollen sich die Leute mit Schals eindecken. Die Menge <math>M</math> der Schals, die zum Preis <math>p</math> verkauft werden kann, lässt sich durch folgende Beziehung beschreiben: | ||
<math>M(p)=-250p^2+156250</math>. Je größere Werte die Funktion <math>M(p)</math> annimmt, desto höher ist also die Nachfrage der Konsumenten nach Schals. | <math>M(p)=-250p^2+156250</math>. Je größere Werte die Funktion <math>M(p)</math> annimmt, desto höher ist also die Nachfrage der Konsumenten nach Schals. | ||
'''a)''' | |||
Bestimme mit Hilfe vom Differenzenquotienten, wie stark die Nachfrage sinkt, wenn der Preis von 10€ auf 12€ bzw. von 15€ auf 20€ erhöht wird. Wie hoch ist in beiden Fällen die durchschnittliche Abnahme je € Preissteigerung? Rechne die Lösung dazu zuerst in deinem Heft aus. Danach kannst du sie in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob die Lösung stimmt. | |||
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p9qpp6cyj18" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p9qpp6cyj18" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
<popup Name="Tipp">Die Formel für den Differenzenquotienten lautet: <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>. Aber Achtung: Sie wird nicht für jede Rechnung benötigt.</popup> | <popup Name="Tipp 1">Die Formel für den Differenzenquotienten lautet: <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>. Aber Achtung: Sie wird nicht für jede Rechnung benötigt.</popup> | ||
<popup Name="Tipp">Überlege dir genau, was du mit dem Differenzenquotienten ausgerechnet hast und erinnere dich an die Beschreibung "durchschnittliche Änderungsrate".</popup> | <popup Name="Tipp 2">Überlege dir genau, was du mit dem Differenzenquotienten ausgerechnet hast und erinnere dich an die Beschreibung "durchschnittliche Änderungsrate".</popup> | ||
<popup Name="Lösung">Um den Nachfragerückgang zu berechnen bildet man die Differenz der Nachfragen bei verschiedenen Preisen. Man rechnet für die ersten beiden Lücken beispielhaft: <math>M(12)-M(10)=-250 \cdot 12^2+156250-(-250*10^2+156250)=-11000</math>. Das Ergebnis -11000 bedeutet, dass die Nachfrage um 11000 Stück zurückgegangen ist. Für den Rückgang je € benötigt man den Differenzenquotienten. Den Zähler habt ihr bereits berechnet, daher ist das vorherige Ergebnis nur noch durch <math>x-x_0</math> zu teilen (im Beispiel (12-10)). Somit ergibt sich für die Lücken: | <popup Name="Lösung zu a)">Um den Nachfragerückgang zu berechnen bildet man die Differenz der Nachfragen bei verschiedenen Preisen. Man rechnet für die ersten beiden Lücken beispielhaft: <math>M(12)-M(10)=-250 \cdot 12^2+156250-(-250*10^2+156250)=-11000</math>. Das Ergebnis -11000 bedeutet, dass die Nachfrage um 11000 Stück zurückgegangen ist. Für den Rückgang je € benötigt man den Differenzenquotienten. Den Zähler habt ihr bereits berechnet, daher ist das vorherige Ergebnis nur noch durch <math>x-x_0</math> zu teilen (im Beispiel (12-10)). Somit ergibt sich für die Lücken: | ||
1. Lücke: 11000 | 1. Lücke: 11000 | ||
Zeile 176: | Zeile 178: | ||
4. Lücke: 8750</popup> | 4. Lücke: 8750</popup> | ||
'''b)''' | |||
Mit welchem Nachfragerückgang muss man bei einem Preis von 8€ (15€, 20€) rechnen? Bei welchem Preis werden die Schals unverkäuflich? Rechne auch hier zuerst in deinem Heft. Danach kannst du die Lösung in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob sie stimmt. | |||
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=php6jpipa18" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=php6jpipa18" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
<popup Name="Tipp">Hier muss mit der momentanen Änderungsrate, also der Ableitung, gearbeitet werden.</popup> | <popup Name="Tipp 1">Hier muss mit der momentanen Änderungsrate, also der Ableitung, gearbeitet werden.</popup> | ||
<popup Name="Tipp">Die Ableitung ist gegeben durch: <math>M'(p)=-500p</math></popup> | <popup Name="Tipp 2">Die Ableitung ist gegeben durch: <math>M'(p)=-500p</math></popup> | ||
<popup Name="Tipp">Überlege dir, was es heißt, dass die Ware unverkäuflich ist. Welchen Wert muss die Funktion für M(p) annehmen?</popup> | <popup Name="Tipp 3">Überlege dir, was es heißt, dass die Ware unverkäuflich ist. Welchen Wert muss die Funktion für M(p) annehmen?</popup> | ||
<popup Name="Lösung">1. Lücke: 4000 | <popup Name="Lösung zu b)">1. Lücke: 4000 | ||
2. Lücke: 7500 | 2. Lücke: 7500 |
Version vom 29. November 2018, 15:58 Uhr
Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen.
Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben und viel Erfolg! :) |
Umgang mit den Begriffen Differenzen- und Differenzialquotient (Förderaufgaben)
Unterschied zwischen Differenzen- und Differenzialquotient
Quiz zur Grenzwertbildung
Differenzen- und Differenzialquotient im Sachkontext
Sachkontextaufgabe Medikamentenkonzentration
Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Tipp">
Nutze Aufgabe 1, um dir die beiden Begriffe Differenzen- und Differenzialquotient deutlich zu machen.
</popup>
<popup name="Tipp"> Ein kleines Beispiel, wie du die Einheit der durchschnittlichen Änderung mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmen kannst: Sei eine Funktion mit = Zeit in Stunden und = Strecke in km . Der Differenzenquotient lautet ja ganz allgemein . Da nach der Aufgabenstellung die Einheit km hat, steht im Zähler des Differenzenquotienten auch die Einheit km. Da die Einheit Stunden hat, steht im Nenner dementsprechend die Einheit Stunden. Es ergibt sich also für die durchschnittliche Änderung der Strecke die Einheit </popup>
Hier findest du die Lösungen:
<popup name="Lösung"> zu den ersten beiden Lücken: In einem Graphen ist die y-Achse immer in Abhängigkeit von der x-Achse.
3. und 4. Lücke: Der Differenzenquotient beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem bestimmten Intervall.
5. Lücke: Man berechnet mit dem Differenzenquotienten .
6. und 7. Lücke : Der berechnete Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante im entsprechenden Intervall .
8. Lücke: Im Schnitt nimmt die Medikamentenkonzentration in den ersten zwei Stunden mit einer Geschwindigkeit von pro Stunde zu.
9. und 10. Lücke: Momentane Änderungsraten bestimmst du mit dem Differenzailquotienten (Ableitung).
11. Lücke: Die momentane Änderungsrate hat die gleiche Einheit wie die durchschnittliche Änderungsrate ( pro Stunde ).
12. und 13. Lücke: Die momentane Änderungsrate in einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Aus der Skizze kann man entnehmen, dass die Tangentensteigung in den ersten zwei Stunden durchgehend positiv ist. </popup>
Sachkontextaufgabe Besucherzahl im Bundestag
Uhrzeit | 10.00 | 11.00 | 12.00 | 13.00 | 14.00 | 15.00 | 16.00 | 17.00 | 18.00 |
Besucherzahl | 375 | 270 | 400 | 475 | 512 | 520 | 520 | 350 | 320 |
Sachkontextaufgabe Studenten und Geschwindigkeit
<popup name="Tipp">Die ersten Fragen von 5a und 5b kannst du jeweils durch Annäherung des Differentialquotienten beantworten. Die jeweils letzten Fragen werden durch den Differenzenquotienten berechnet.</popup>