Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt: Unterschied zwischen den Versionen

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<popup name="Tipp 1">Berechne zunächst die Steigung der Tangente an Punkt A und nutze Tipp 2, falls du einen weiteren Hinweis benötigst.</popup>
<popup name="Tipp 1">Berechne zunächst die Steigung der Tangente an Punkt A und nutze Tipp 2, falls du einen weiteren Hinweis benötigst.</popup>
<popup name="Tipp 2">Falls <math>m_1 * m_2 = -1</math> gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander. (Mit <math>m_1, m_2</math> sind die beiden Steigungen der Geraden gemeint.)</popup>
<popup name="Tipp 2">Falls <math>m_1 \cdot m_2 = -1</math> gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander. (Mit <math>m_1, m_2</math> sind die beiden Steigungen der Geraden gemeint.)</popup>
<popup name="Lösung">
<popup name="Lösung">
1. Schritt: <math>f(x)</math> ableiten -> <math>f'(x)= 2*(x-1)</math><br />
1. Schritt: <math>f(x)</math> ableiten -> <math>f'(x)= 2\cdot(x-1)</math><br />


2. Schritt: Steigung der Tangenten in Punkt A: <math> f'(1,25)= 2*(1,25-1)=0,5=m_1 </math><br />
2. Schritt: Steigung der Tangenten in Punkt A: <math> f'(1,25)= 2\cdot(1,25-1)=0,5=m_1 </math><br />


3. Schritt: Steigung der Tangente g bestimmen -> <math> 0,5 * m_2 = -1 <=> m_2=-2 </math><br />
3. Schritt: Steigung der Tangente g bestimmen -> <math> 0,5 \cdot m_2 = -1 <=> m_2=-2 </math><br />


4. Schritt: Schnittstelle der Tangente g mit Graphen bestimmen: <math>f'(x)=-2=2*(x-1)=2x-2 <=> x=0 </math><br />
4. Schritt: Schnittstelle der Tangente g mit Graphen bestimmen: <math>f'(x)=-2=2\cdot(x-1)=2x-2 <=> x=0 </math><br />


5. Schritt: Schnittpunkt bestimmen: <math> f(0)=(0-1)^2+1=2 </math> Also <math>(0|2)</math><br />
5. Schritt: Schnittpunkt bestimmen: <math> f(0)=(0-1)^2+1=2 </math> Also <math>(0|2)</math><br />
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<popup name="Lösung"> Wenn du es im Applet ausprobiert hast, wirst du genau das sehen: Wenn man an einer Stelle der Funktion eine Tangente anlegt, stimmt diese in gewissem Maße mit dieser Funktion überein. Nämlich genau dann, wenn man ganz nah heranzoomt. Daher kann man auch die Tangentensteigung als Instrument zur Bestimmung der Steigung in einem Punkt (Ableitung) verwenden. </popup>
<popup name="Lösung"> Wenn du es im Applet ausprobiert hast, wirst du genau das sehen: Wenn man an einer Stelle der Funktion eine Tangente anlegt, stimmt diese in gewissem Maße mit dieser Funktion überein. Nämlich genau dann, wenn man ganz nah heranzoomt. Daher kann man auch die Tangentensteigung als Instrument zur Bestimmung der Steigung in einem Punkt (Ableitung) verwenden. </popup>
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}}
{{Aufgaben|8: Notwendige Bedingung|
{{Aufgaben|8: Besondere Punkte|
In der untenstehenden Grafik siehst du den Graph einer Funktion, sowie deren Punkt P. Bei P ist eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennnbar durch die rot gestrichelten Linien. Der Punkt lässt sich verschieben. Mithilfe des Buttons oben rechts im Applet lässt sich der Punkt zur ursprünglichen Position zurücksetzen.
In der untenstehenden Grafik siehst du den Graph einer Funktion, sowie deren Punkt P. Bei P ist eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennbar durch die rot gestrichelten Linien. Der Punkt lässt sich verschieben. Mithilfe des Buttons oben rechts im Applet lässt sich der Punkt zur ursprünglichen Position zurücksetzen.


'''a)'''
'''a)'''

Version vom 14. November 2018, 10:25 Uhr


Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt.

In den Aufgaben 1 und 2 wird die grundlegende Vorstellung von Sekanten und Tangenten behandelt.

In den Aufgaben 3, 4 und 5 geht es darum Tangentengleichungen und Normalengleichungen aufzustellen.

Aufgabe 6 behandelt den Zusammenhang der Steigung und der Ableitung in einem Punkt.

Bei den Aufgaben 7 und 8 handelt es sich um Forderaufgaben im Bereich lokale Linearität und Ableitung in besonderen Punkten.



Unterscheidung Tangente und Sekante

Aufgabe 1: Lückentext zur Begriffsklärung




Aufgabe 2: Weiterführender Lückentext
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Tangentengleichungen aufstellen

Aufgabe 3:Arbeitsschritte zuordnen

Die Tangente an die Funktion im Punkt soll berechnet werden. Im folgenden Applet siehst du die dazu vorgenommenen Rechenschritte und Anweisungen.


Aufgabe 4:Tangentengleichung aufstellen
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Aufgabe 5: Tangente durch Normale
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Aufgabe 6: Richtig oder Falsch?

Schaue dir das Applet an und entscheide auf Grundlage dessen, ob die unten stehenden Aussagen richtig oder falsch sind.

Hinweis: Du kannst den Punkt P und auch die damit verbundene Tangente t selbst bewegen, um dir die Aussagen zu veranschaulichen. Oder du nutzt alternativ den eingebauten Regler. Error: www.geogebra.org is not an authorized iframe site.


Forderaufgaben

Aufgabe 7: Lokale Linearität
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Aufgabe 8: Besondere Punkte
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