Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

Info

In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel ..., ...

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Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.
• Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines Fragezeichen oder eine Glühlampe. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.

Viel Spaß!

Einführung

Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf. Wenn wir in den Supermarkt gehen oder unsere Größe messen, du merkst schnell, dass unser Alltag bei natürlichen Zahlen und Brüchen nicht Halt macht. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?

Merksatz: Dezimalzahlen

Dezimalzahlen sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

Dezimalzahlen kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise. Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern $10, 100, 1000, ...$ schreiben und andersherum.

Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.

Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl

Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel

Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel

Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.

Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel

Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.

Umgang mit Größen

Merksatz: Größen

Größen sind Geld, Gewicht (Masse), Länge und Zeit. Größen bestehen aus Maßzahl und Einheit.

Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.

Aufgabe (*): Größen im Alltag

Merksatz: Größeneinheiten

Geld: Euro (€), Cent (ct)

$1€ = 100ct$

Gewicht: Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

$1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg$

Länge: Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

$1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm$

Zeit: Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden

Dezimalzahlen in der Welt der Größen

Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl

Merksatz 1: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen

Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel: Dezimalzahl: $0,5$ und Bruch: $\frac{1}{2}$ und Prozentzahl: $50 \%$

$\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%$

Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf $10, 100, 1000, ...$ (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: $\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8$

Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf $10, 100, 1000, ...$ je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner $1000$.

Beispiel: $2,67$ $(= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}$

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:

Das Prozent-Zeichen $\%$ steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die $100$ hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

$\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%$

$\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%$

$\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%$

Aufgabe 1.1 (*): Wechsel der Darstellungsformen

Aufgabe 1.2 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen

Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen

Merksatz 2: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen

Vor dem Runden von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird abgerundet.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird aufgerundet.

Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.

Aufgabe 2.1 (**): Dezimalzahlen runden

Aufgabe 2.2 (***): Runden von Dezimalzahlen

Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: $0,982 \approx 0,98$

b) Runde $27,943$ auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet $4,75$ ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet $2,67$ ergibt.

Es wurde auf Hundertstel gerundet.

$27,943 \approx 27,9$

Folgende Zahlen ergeben $4,75$ gerundet auf Hundertstel: $4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754$

Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet $2,67$ ergibt lautet $2,6749$.

Rechengesetze

Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen

Merksatz 3a: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen

Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.

Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!

Aufgabe 3.1 (*): Dezimalbrüche addieren

Aufgabe 3.2 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren

Multiplikation von Dezimalzahlen

Merksatz 3b: Multiplikation von Dezimalzahlen

1. Bestimme das Vorzeichen ($+$ und $+ \rightarrow +$; $+$ und $- \rightarrow -$; $-$ und $- \rightarrow +$).
2. Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
3. Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.

Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!

Aufgabe 3.3 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen

Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten

Max kauft $1,034 kg$ Möhren, $1,497 kg$ Kartoffeln und $0,731 kg$ Tomaten.

Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

Für die Möhren muss Max $1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €$ bezahlen. Für die Kartoffeln muss Max $1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €$ bezahlen. Für die Tomaten muss Max $0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €$ bezahlen. Insgesamt muss er also $0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''$ bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.

Verhältnisse von Größen

Merksatz 4: Größen und Verhältnisse von Größen

Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht $3 kg$ mit $50 m$ vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:

• Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor $1000$ unterscheiden
• Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor $10$ unterscheiden und m und km um den Faktor $1000$
• Geld: ct < €, wobei $100ct = 1€$
• Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei $60 s = 1 min$, $60 min = 1 h$, $24 h = 1 d$ und $365 d = 1$ Jahr

Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. $1500 g$ und $2 kg$, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: $2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg$

Aufgabe 4.1 (*): Objekte nach Gewicht sortieren

Merksatz 5: Dezimalschreibweise von Größen

Vervollständige den Merksatz.

Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer größeren Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer kleineren Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das 10fache, das 100fache, das 1000fache der anderen Maßeinheit ist.

Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.

Beispiel ??: Einheiten

Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) $2,68 m$ (in $dm$)

b) $420 g$ (in $kg$)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

a) $2,68m = 26,8dm$, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit $1m = 10dm$, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) $420g = 0,42kg$, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit $1000g = 1kg$, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.

Aufgabe 5.1 (**): Umrechnen von Größen

Aufgabe 5.2 (***): Rechnen mit Größen

Teste dich!

Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen

Beachte: Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.

1 Welche Stelle besitzt die "$4$" in $327,246$?

	Zehntel (z) $\frac{1}{10}$
	Tausendstel (t) $\frac{1}{1000}$
	Hundertstel (h) $\frac{1}{100}$

2 Wie lässt sich $0,75$ noch darstellen?

	$75\%$
	$\frac{75}{100}$
	$\frac{75}{10}$

3 Wie lautet die Zahl $16,783$ auf den Zehntel gerundet?

	$16,8$
	$16,78$
	$16,7$

4 Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis?

	$1,76 + 4,24$
	$2,43 + 3,67$
	$5,32 + 0,68$
	$3,12 + 3,08$

5 Was ergibt $3,2 * 2,3$?

	$6,6$
	$5,5$
	$7,36$
	$11,5$

Teste dich zum Umgang mit Größen

Beachte: Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.

1 Wandle in die nächstkleinere Einheit um: $3,25$kg

	$32,5$mg.
	$0,00325$t.
	$3250$g.

2 Berechne: $5,3$m $+ 123$cm

	$6,53$m
	$5,423$m
	$176$cm
	$653$cm