Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinsformel

Info

In diesem Kapitel geht es um die Zinsformel. Die Zinsformel hilft dir die einmaligen Zinsen ohne weitere Komplikationen zu berechnen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende

Kompetenzen wiederholen und vertiefen.

• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
• Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Viel Erfolg!

Prozentformel und Zinsformel

Zinsen zu berechnen ist eigentlich einfach nur Prozentrechnung - mit etwas anderen Namen. Die Formel aus der Prozentrechnung kennst du ja schon:

$W = G \cdot \frac{p}{100}$.

Dabei ist $W$ der Prozentwert, $G$ der Grundwert und $p$ die Prozentzahl. Möchtest du zum Beispiel wissen, was Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 3%} von 250g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus:

$W = 250\cdot \frac{3}{100} = 7{,}5 \text{ g}$.

In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls die Prozente von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozent sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt die aufwändigen Worte kürzen wir diese Begriffe nun wie in der Mathematik üblich mit eine, Buchstaben ab:

Dabei sind $Z$ die Zinsen, $K$ das Kapital und $z$ der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:

$Z = K\cdot \frac{z}{100}$.

Beispielaufgabe mit Lösung

Probieren wir die doch mal zusammen aus anhand einem Beispiel:

Beispiel

Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1%} Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von $100$ Euro auf das Sparkonto. Wieviel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?

Lösung:

Gegeben: K = $100$ Euro, z = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1%} .

Gesucht: Z und Kapital nach einem Jahr.

Rechnung: $Z = 100\text{ Euro}* \frac{1}{100} = 1\text{ Euro}$. Nach einem Jahr hat sie demnach $100\text{ Euro} + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro}$ auf dem Konto.

Antwort: Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag $101$ Euro auf dem Konto.

Das geht sogar noch schneller

In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:

$100\text{ Euro} + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro } | \text{ Die 100 ersetzen wir durch ein K}$.

$K + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro } | \text{ Die 1 Euro ersetzen wir durch Z}$.

$K + Z = 101\text{ Euro } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel}$.

$K + K\cdot \frac{z}{100} = 101\text{ Euro } | \text{ Vor dem K ist eine 1 Multipliziert}$.

$1 \cdot K + 1 \cdot K \cdot \frac{z}{100} = 101\text{ Euro } | \text{ Das K können wir nun ausklammern}$.

$K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 101\text{ Euro } | \text{ Der 101 geben wir auch noch einen Namen}$.

$K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_t$.

Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit $K = 100$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle z=1%} aus der Beispielaufgabe aus.

$100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101$. Es geht auf!

Aufgaben

Aufgabe 1: Rechnen mit Zinsen

Katharina hat nun $100 \euro$ auf ihrem Konto. Sie bekommt zwei Angebote von Banken. Bank A bietet ihr 2% Zinsen in einem Jahr, Bank B bietet ihr 1% Zinsen in einem halben Jahr.

a) Wieviel Geld hat Maja bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto?

Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.

Überleg dir zuerst, was $G$ und $z$ ist.

Es ist $G = 100 \euro$ und $z = 2$. Nun benutze die Formel von oben

Katharina bekommt bei Bank A in einem Jahr $2$ Euro Zinsen. Also hat sie dann ein Kapital von $102$ Euro auf ihrem Konto.

b) Wieviel Geld hätte Maja mit 17 Jahren, wenn sie statt $6$% nur $4$% Zinsen bekommen würde?

Wo liegt der Unteschied zu Aufgabe 2 a)?

Diese Aufgabe kannst du genauso Lösen wie Aufgabe 2 a), nur der Wert für $Z$ ist anders.

Maja hätte nach einem Jahr $936$€, nach zwei Jahren $973{,}44$€, nach drei Jahren$1012{,}38$€ und nach vier Jahren dann $1052{,}87$ € auf ihrem Konto.

c) Wie lange müsste Maja warten, bis sie ihren Führerschein bei $4$% Zinsen bezahlen könnte?

Reicht ihr Geld mit $17$ Jahren? Wie ist es mit $18$ oder $19$ Jahren?

Du kannst dein Ergebnis aus Aufgabe 2 b) verwenden und dann wie in der Aufgabe 2 b) weiterrechnen bis Maja genügend Geld für ihren Führersschein beisammen hat.

Maja hätte mit $17$ Jahren erst $1052{,}87$ € auf ihrem Konto. Mit$18$ Jahren hätte sie dann $194{,}99$€ und mit $19$ Jahren dann $1138{,}79$ € auf ihrem Konto. Der Führerschein kostet ungefähr $1125$ €, somit müsste Maja $6$ Jahre lang warten bis sie genügend Geld für den Führerschein beisammen hat.

d) Maja überlegt, ob sie das Geld, das sie jedes Jahr an Zinsen bekommt immer abheben soll und in ihre Spardose wirft. Was würdest du ihr raten?

Ändert das etwas an den Zinsen, die Maja bekommt?

Auf welches Geld bekommt Maja dann jedes Jahr Zinsen? Wieviel Zinsen würde sie dann jedes Jahr bekommen? Was bedeutet das für ihren Führerschein?

Es gibt keine eindeutige Lösung, hier ist eine mögliche Argumentation, aber du hast möglicherweise eine andere gute Argumentation gefunden: Wenn Maja das so macht dann würde sie jedes Jahr nur auf ihre $900$ € Zinsen bekommen und keine Zinseszinsen. Sie würde bei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 6%} dann $54$ € jedes Jahr bekommen. Nach vier Jahren hätte Maja dann $1116$€. Das würde nicht für den Führerschein reichen.