Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinsformel: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM Projektwiki
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
Zeile 32: Zeile 32:
Probieren wir die doch mal zusammen aus anhand einem Beispiel:
Probieren wir die doch mal zusammen aus anhand einem Beispiel:


{{Box|Beispiel|Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr <math>1%</math> Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von <math>100</math> Euro auf das Sparkonto. Wieviel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?|Hervorhebung1}}
{{Box|Beispiel|Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr <math>1%</math> Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von <math>100</math> auf das Sparkonto. Wieviel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?|Hervorhebung1}}
Lösung:
Lösung:


'''Gegeben:''' K = <math>100</math> Euro, z = <math>1%</math>.
'''Gegeben:''' K = <math>100</math> , z = <math>1%</math>.


'''Gesucht:''' Z und Kapital nach einem Jahr.
'''Gesucht:''' Z und Kapital nach einem Jahr.


'''Rechnung:''' <math id="Zinsformel Bsp1">Z = 100\text{ Euro} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ Euro}</math>. Nach einem Jahr hat sie demnach <math>100\text{ Euro} + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro}</math> auf dem Konto.
'''Rechnung:''' <math id="Zinsformel Bsp1">Z = 100\text{ } \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ }</math>. Nach einem Jahr hat sie demnach <math>100\text{ } + 1\text{ } = 101\text{ }</math> auf dem Konto.


'''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101</math> Euro auf dem Konto.
'''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101</math> auf dem Konto.


====Das geht sogar noch schneller====
====Das geht sogar noch schneller====
Zeile 47: Zeile 47:




<math id="Zinsformel fortsetzung1">100\text{ Euro} + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro } | \text{ Die 100 ersetzen wir durch ein K} </math>.
<math id="Zinsformel fortsetzung1">100\text{ } + 1\text{ } = 101\text{ } | \text{ Die 100 ersetzen wir durch ein K} </math>.


<math id="Zinsformel fortsetzung2">K + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro } | \text{ Die 1 Euro ersetzen wir durch Z} </math>.
<math id="Zinsformel fortsetzung2">K + 1\text{ } = 101\text{ } | \text{ Die 1 ersetzen wir durch Z} </math>.


<math id="Zinsformel fortsetzung3">K + Z = 101\text{ Euro } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel} </math>.
<math id="Zinsformel fortsetzung3">K + Z = 101\text{ } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel} </math>.


<math id="Zinsformel fortsetzung4">K + K\cdot \frac{z}{100} = 101\text{ Euro } | \text{ Vor dem K ist eine 1 Multipliziert} </math>.
<math id="Zinsformel fortsetzung4">K + K\cdot \frac{z}{100} = 101\text{ } | \text{ Vor dem K ist eine 1 Multipliziert} </math>.


<math>1 \cdot K + 1 \cdot K \cdot \frac{z}{100} = 101\text{ Euro } | \text{ Das K können wir nun ausklammern} </math>.
<math>1 \cdot K + 1 \cdot K \cdot \frac{z}{100} = 101\text{ } | \text{ Das K können wir nun ausklammern} </math>.




<math id="Zinsformel fortsetzung6">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 101\text{ Euro } | \text{ Der 101 geben wir auch noch einen Namen}</math>.
<math id="Zinsformel fortsetzung6">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 101\text{ } | \text{ Der 101 geben wir auch noch einen Namen}</math>.


<math id="Zinsformel fortsetzung7">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_t</math>.
<math id="Zinsformel fortsetzung7">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_t</math>.
Zeile 67: Zeile 67:


====Aufgaben====
====Aufgaben====
{{Box | Aufgabe 1: Rechnen mit Zinsen | Katharina hat nun <math>100 </math> Euro auf ihrem Konto. Sie bekommt zwei Angebote von Banken. Bank A bietet ihr 2% Zinsen in einem Jahr, Bank B bietet ihr 1% Zinsen in einem halben Jahr.
{{Box | Aufgabe 1: Rechnen mit Zinsen | Katharina hat nun <math>100 </math> auf ihrem Konto. Sie bekommt zwei Angebote von Banken. Bank A bietet ihr 2% Zinsen in einem Jahr, Bank B bietet ihr 1% Zinsen in einem halben Jahr.


'''a)''' Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto?
'''a)''' Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto?
Zeile 75: Zeile 75:
{{Lösung versteckt|1= Überleg dir zuerst, was <math>G</math> und <math>z</math> ist. |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 1 a) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Überleg dir zuerst, was <math>G</math> und <math>z</math> ist. |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 1 a) |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Es ist <math>G = 100 </math> Euro und <math>z = 2</math>. Nun benutze die Formel von oben |2=großer Tipp zu Aufgabe 1 1) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Es ist <math>G = 100 </math> und <math>z = 2</math>. Nun benutze die Formel von oben |2=großer Tipp zu Aufgabe 1 1) |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Katharina bekommt bei Bank A in einem Jahr <math>2</math> Euro Zinsen. Also hat sie dann ein Kapital von <math>102</math> Euro auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 1. a)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Katharina bekommt bei Bank A in einem Jahr <math>2</math> Zinsen. Also hat sie dann ein Kapital von <math>102</math> auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 1. a)|3=Einklappen}}


'''b)''' Wieviel Geld hätte Katharina nach einem halben Jahr bei Bank B auf dem Konto?
'''b)''' Wieviel Geld hätte Katharina nach einem halben Jahr bei Bank B auf dem Konto?
Zeile 83: Zeile 83:
{{Lösung versteckt|1= Das geht genau so wie in Aufgage a). |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Das geht genau so wie in Aufgage a). |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b) |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Rechne mit <math>G = 100 </math> Euro und <math>z = 1</math>.|2=großer Tipp zu 2. b)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Rechne mit <math>G = 100 </math> und <math>z = 1</math>.|2=großer Tipp zu 2. b)|3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Katharina bekommt in einem halben Jahr bei Bank B <math>1</math> Euro Zinsen. Damit hat sie ein Kapital von <math>101</math> Euro auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2. b)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Katharina bekommt in einem halben Jahr bei Bank B <math>1</math> Zinsen. Damit hat sie ein Kapital von <math>101</math> auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2. b)|3=Einklappen}}


'''c)''' Nach eine halben Jahr hat Katharina nun <math>101</math> Euro auf ihrem Konto. Wieviel Geld hat sie ein weiteres halbes Jahr später?
'''c)''' Nach eine halben Jahr hat Katharina nun <math>101</math> auf ihrem Konto. Wieviel Geld hat sie ein weiteres halbes Jahr später?


{{Lösung versteckt|1= Verfahre genauso wie in b).|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 c) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Verfahre genauso wie in b).|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 c) |3=Einklappen}}
Zeile 93: Zeile 93:
{{Lösung versteckt|1= Bedenke, dass sich im Unterschied zu b) nun <math>G</math> verändert hat.|2=großer Tipp zu 2 c)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bedenke, dass sich im Unterschied zu b) nun <math>G</math> verändert hat.|2=großer Tipp zu 2 c)|3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Katharina bekommt für ein weiteres halbes Jahr insgesamt <math>1{,}01</math> Euro Zinsen. Sie hat also <math>101{,}01</math> Euro auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2 c)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Katharina bekommt für ein weiteres halbes Jahr insgesamt <math>1{,}01</math> Zinsen. Sie hat also <math>101{,}01</math> auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2 c)|3=Einklappen}}


'''d)''' Was fällt dir im Vergleich der beiden Agebote auf?
'''d)''' Was fällt dir im Vergleich der beiden Agebote auf?
Zeile 105: Zeile 105:
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}


{{Box | Aufgabe 2: Vergleich Zinsen mit Linearem Wachstum | Sipan hat ein Sparschwein. Er legt jedes Jahr immer 5 Euro in dieses Sparschwein. Seine Schwester Esma legt ihr Geld bei einer Bank an, wo sie 2% Zinsen im Jahr bekommt.
{{Box | Aufgabe 2: Vergleich Zinsen mit Linearem Wachstum | Sipan hat ein Sparschwein. Er legt jedes Jahr immer 5 in dieses Sparschwein. Seine Schwester Esma legt ihr Geld bei einer Bank an, wo sie 2% Zinsen im Jahr bekommt.


'''a)''' Beide starten mit <math>250</math> Euro Erspartem. Berechne wieviel Geld sie jeweils nach zwei Jaren auf ihrem Konto haben.
'''a)''' Beide starten mit <math>250</math> Erspartem. Berechne wieviel Geld sie jeweils nach zwei Jaren auf ihrem Konto haben.


{{Lösung versteckt|1= Gehe Schrittweise vor. Berechne bei beiden zuerst das Geld nach einem Jahr und dann nach zwei Jahren.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 a) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Gehe Schrittweise vor. Berechne bei beiden zuerst das Geld nach einem Jahr und dann nach zwei Jahren.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 a) |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Sipan wird in zwei Jahren <math>10</math> Euro zu seinem Ersparten legen. Er besitzt dann also <math>260</math> Euro. Esma bekommt im ersten Jahr <math>5</math> Euro Zinsen und im zweiten Jahr <math>5{,}10</math> Euro Zinsen. Also hat sie nach zwei Jahren <math>260,10</math> Euro auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2 a)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Sipan wird in zwei Jahren <math>10</math> zu seinem Ersparten legen. Er besitzt dann also <math>260</math> . Esma bekommt im ersten Jahr <math>5</math> Zinsen und im zweiten Jahr <math>5{,}10</math> Zinsen. Also hat sie nach zwei Jahren <math>260,10</math> auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2 a)|3=Einklappen}}


'''b)''' Fallen dir Vorteile der beiden Sparmethoden von Sipan und Esma ein?
'''b)''' Fallen dir Vorteile der beiden Sparmethoden von Sipan und Esma ein?

Version vom 21. November 2020, 16:48 Uhr

Info

In diesem Kapitel geht es um die Zinsformel. Die Zinsformel hilft dir die einmaligen Zinsen ohne weitere Komplikationen zu berechnen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende

Kompetenzen wiederholen und vertiefen.

  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
  • Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!

Prozentformel und Zinsformel

Zinsen zu berechnen ist eigentlich einfach nur Prozentrechnung - mit etwas anderen Namen. Die Formel aus der Prozentrechnung kennst du ja schon:

.

Dabei ist der Prozentwert, der Grundwert und die Prozentzahl. Möchtest du zum Beispiel wissen, was Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 3%} von 250g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus:


.


In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls die Prozente von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozent sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt die aufwändigen Worte kürzen wir diese Begriffe nun wie in der Mathematik üblich mit eine, Buchstaben ab:

Dabei sind die Zinsen, das Kapital und der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:

.

Beispielaufgabe mit Lösung

Probieren wir die doch mal zusammen aus anhand einem Beispiel:


Beispiel
Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1%} Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von € auf das Sparkonto. Wieviel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?

Lösung:

Gegeben: K = €, z = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1%} .

Gesucht: Z und Kapital nach einem Jahr.

Rechnung: . Nach einem Jahr hat sie demnach auf dem Konto.

Antwort: Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag € auf dem Konto.

Das geht sogar noch schneller

In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:


.

.

.

.

.


.

.

Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle z=1%} aus der Beispielaufgabe aus.

. Es geht auf!

Aufgaben

Aufgabe 1: Rechnen mit Zinsen
Katharina hat nun  € auf ihrem Konto. Sie bekommt zwei Angebote von Banken. Bank A bietet ihr 2% Zinsen in einem Jahr, Bank B bietet ihr 1% Zinsen in einem halben Jahr.

a) Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto?

Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.
Überleg dir zuerst, was und ist.
Es ist € und . Nun benutze die Formel von oben
Katharina bekommt bei Bank A in einem Jahr € Zinsen. Also hat sie dann ein Kapital von € auf ihrem Konto.

b) Wieviel Geld hätte Katharina nach einem halben Jahr bei Bank B auf dem Konto?

Das geht genau so wie in Aufgage a).
Rechne mit € und .
Katharina bekommt in einem halben Jahr bei Bank B € Zinsen. Damit hat sie ein Kapital von € auf ihrem Konto.

c) Nach eine halben Jahr hat Katharina nun € auf ihrem Konto. Wieviel Geld hat sie ein weiteres halbes Jahr später?

Verfahre genauso wie in b).
Bedenke, dass sich im Unterschied zu b) nun verändert hat.
Katharina bekommt für ein weiteres halbes Jahr insgesamt € Zinsen. Sie hat also € auf ihrem Konto.

d) Was fällt dir im Vergleich der beiden Agebote auf?

Ist ein Angebot besser?
Überlege, ob sich die Zinsen mit der Zeit verändern oder immer gleich bleiben.
Das Angebot von Bank B ist besser. Es klingt zwar so, als seien beide Angebote gleich, aber da sich nach jedem auszahlen der Zinsen auch vergrößert, werden die Zinsen auch größer. Nach zweimal auszahlen hat Katharina daher etwas mehr Geld auf ihrem Konto.


Aufgabe 2: Vergleich Zinsen mit Linearem Wachstum
Sipan hat ein Sparschwein. Er legt jedes Jahr immer 5 € in dieses Sparschwein. Seine Schwester Esma legt ihr Geld bei einer Bank an, wo sie 2% Zinsen im Jahr bekommt.

a) Beide starten mit € Erspartem. Berechne wieviel Geld sie jeweils nach zwei Jaren auf ihrem Konto haben.

Gehe Schrittweise vor. Berechne bei beiden zuerst das Geld nach einem Jahr und dann nach zwei Jahren.
Sipan wird in zwei Jahren € zu seinem Ersparten legen. Er besitzt dann also €. Esma bekommt im ersten Jahr € Zinsen und im zweiten Jahr € Zinsen. Also hat sie nach zwei Jahren € auf ihrem Konto.

b) Fallen dir Vorteile der beiden Sparmethoden von Sipan und Esma ein?

Hier musst du nicht rechnen. Überlege dir zum Beispiel was auf kurze oder lange Sicht passiert und was der Unterschied zwischen einem Sparschwein und einem Konto ist.
Ein Sparschwein ist immer verfügbar. Wenn Sipan dringend Geld braucht, kann er sein Sparschwein schnell plündern. Auf lange Sicht ist das Sparkonto von Esma aber die klügere Wahl, da sie nicht nur den gleichen Betrag bekommt, sondern immer mehr Geld. Das rechnet sich auf lange Sicht.


Aufgabe 3: Zinsen nur bei Geld?
Manchmal beobachtet man in der Natur Vorgänge, die man nicht mit Linearem Wachstum erklären kann. Wasserlinsen können sich an nur einem Tag verdoppeln.

a) Stell dir vor, dass unbemerkt zwei Wasserlinsen in ein Aquarium kommen. Wieviele Wasserlinsen sind dann am nächsten Tag in dem Aquarium? Wieviele sind es nächste Woche?

Gehe Schrittweise vor. Du brauchst hier keine Formel anwenden.
Verdoppelt bedeutet immer doppelt so viele. Also einen Tag später sind es vier Wasserlinsen, nach zwei Tagen acht Wasserlinsen, nach drei Tagen Wasserlinsen, nach vier Tagen , nach fünf Tagen , nach sechs Tagen und nach sieben Tagen, also einer Woche Wasserlinsen.

b) Wie könntest du verdoppeln als Prozent darstellen. Probiere deine Ideen mit der Formel aus!

Ausprobieren ist vollkommen in Ordnung.
Verdoppeln bedeutet ein Wachstum von Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100%} . Die Zinsformel funktioniert also nicht nur bei Geld.


Link zum nächsten Kapitel:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinseszins


Link zurück zur Übersicht:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung