Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinsformel: Unterschied zwischen den Versionen
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* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''. | * Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''. | ||
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. | * Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. | ||
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<math id="Prozentformel">W = G \cdot \frac{p}{100}</math>. | <math id="Prozentformel">W = G \cdot \frac{p}{100}</math>. | ||
Dabei ist <math>W</math> der Prozentwert, <math>G</math> der Grundwert und <math>p</math> | Dabei ist <math>W</math> der Prozentwert, <math>G</math> der Grundwert und <math>p</math> der Prozentsatz. Möchtest du zum Beispiel wissen, was <math>3%</math> von 250 g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus: | ||
<math id="Prozentformel mit Beispiel">W = 250\cdot \frac{3}{100} = 7{,}5 \text{ g}</math>. | <math id="Prozentformel mit Beispiel">W = 250\text{ g}\cdot \frac{3}{100} = 7{,}5 \text{ g}</math>. | ||
In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls | In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab: | ||
Dabei sind <math>Z</math> die Zinsen, <math>K</math> das Kapital und <math> | Dabei sind <math>Z</math> die Zinsen, <math>K</math> das Kapital und <math>p</math> der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit: | ||
<math id="Zinsformel">Z = K\cdot \frac{ | <math id="Zinsformel">Z = K\cdot \frac{p}{100}</math>. | ||
====Beispielaufgabe mit Lösung==== | ====Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung==== | ||
Probieren wir die doch mal zusammen aus | Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus: | ||
{{Box|Beispiel|Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr <math>1%</math> Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von <math>100</math> € auf das Sparkonto. | {{Box|Beispiel|Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr <math>1%</math> Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von <math>100</math> € auf das Sparkonto. Wie viel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?|Hervorhebung1}} | ||
Lösung: | Lösung: | ||
'''Gegeben:''' | '''Gegeben:''' <math>K = 100</math> €, <math>p = 1%</math>. | ||
'''Gesucht:''' | '''Gesucht:''' Kapital nach einem Jahr. | ||
'''Rechnung:''' <math id="Zinsformel Bsp1">Z = 100\text{ €} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ €}</math>. Nach einem Jahr hat sie demnach <math>100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ €}</math> auf dem Konto. | '''Rechnung:''' Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen <math>Z</math>:<math id="Zinsformel Bsp1">Z = 100\text{ €} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ €}</math>. Nach einem Jahr hat sie demnach <math>100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ €}</math> auf dem Konto. | ||
'''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101</math> € auf dem Konto. | '''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101</math> € auf dem Konto. | ||
==== | ====<math>K</math> berechnen geht sogar noch schneller==== | ||
In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen: | In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen: | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung1">100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ | <math id="Zinsformel fortsetzung1">100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Da die 100 € das Kapital sind ersetzen wir sie durch ein K.} </math>. | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung2">K + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Die 1 € ersetzen wir durch Z} </math>. | <math id="Zinsformel fortsetzung2">K + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Die 1 € sind die Zinsen, also ersetzen wir sie durch ein Z.} </math>. | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung3">K + Z = 101\text{ € } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel} </math>. | <math id="Zinsformel fortsetzung3">K + Z = 101\text{ € } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel} </math>. | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung4">K + K\cdot \frac{ | <math id="Zinsformel fortsetzung4">K + K\cdot \frac{p}{100} = 101\text{ € } | \text{ Beachte: Vor dem K ist eine 1 Multipliziert.} </math>. | ||
<math>1 \cdot K + 1 \cdot K \cdot \frac{ | <math>1 \cdot K + 1 \cdot K \cdot \frac{p}{100} = 101\text{ € } | \text{ Das K können wir nun ausklammern} </math>. | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung6">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{ | <math id="Zinsformel fortsetzung6">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = 101\text{ € } | \text{ Da wir eine allgemein Formel suchen geben wir den 101 € auch noch einen Namen: }K_t</math>. | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung7">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{ | <math id="Zinsformel fortsetzung7">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t</math>. | ||
In eurem Buch wird <math id="Nicht euer Ernst">\frac{p}{100}</math> als <math>q</math> abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschrieben möchtet, oder eben abkürzen wollt. | |||
<math id="Zinsformel Beispiel">100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101</math>. | Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit <math>K = 100</math> € und <math>p=1%</math> aus der Beispielaufgabe aus. | ||
<math id="Zinsformel Beispiel">100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101</math>. | |||
====Aufgaben==== | ====Aufgaben==== | ||
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{{Lösung versteckt|1= Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.|2=Allgemeiner Tipp zu Aufgabe 1 |3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.|2=Allgemeiner Tipp zu Aufgabe 1 |3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Überleg dir zuerst, was <math>G</math> und <math> | {{Lösung versteckt|1= Überleg dir zuerst, was <math>G</math> und <math>p</math> ist. |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 1 a) |3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Es ist <math>G = 100 </math> € und <math> | {{Lösung versteckt|1= Es ist <math>G = 100 </math> € und <math>p = 2</math>. Nun benutze die Formel von oben |2=großer Tipp zu Aufgabe 1 1) |3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Katharina bekommt bei Bank A in einem Jahr <math>2</math> € Zinsen. Also hat sie dann ein Kapital von <math>102</math> € auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 1. a)|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Katharina bekommt bei Bank A in einem Jahr <math>2</math> € Zinsen. Also hat sie dann ein Kapital von <math>102</math> € auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 1. a)|3=Einklappen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= Das geht genau so wie in Aufgage a). |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b) |3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Das geht genau so wie in Aufgage a). |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b) |3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Rechne mit <math>G = 100 </math> € und <math> | {{Lösung versteckt|1= Rechne mit <math>G = 100 </math> € und <math>p = 1</math>.|2=großer Tipp zu 2. b)|3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Katharina bekommt in einem halben Jahr bei Bank B <math>1</math> € Zinsen. Damit hat sie ein Kapital von <math>101</math> € auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2. b)|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Katharina bekommt in einem halben Jahr bei Bank B <math>1</math> € Zinsen. Damit hat sie ein Kapital von <math>101</math> € auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2. b)|3=Einklappen}} |
Version vom 29. November 2020, 12:56 Uhr
Prozentformel und Zinsformel
Zinsen zu berechnen ist eigentlich einfach nur Prozentrechnung - mit etwas anderen Namen. Die Formel aus der Prozentrechnung kennst du ja schon:
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Dabei ist der Prozentwert, der Grundwert und der Prozentsatz. Möchtest du zum Beispiel wissen, was von 250 g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus:
.
In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab:
Dabei sind die Zinsen, das Kapital und der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:
.
Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung
Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus:
Lösung:
Gegeben: €, .
Gesucht: Kapital nach einem Jahr.
Rechnung: Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen :. Nach einem Jahr hat sie demnach auf dem Konto.
Antwort: Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag € auf dem Konto.
berechnen geht sogar noch schneller
In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:
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In eurem Buch wird als abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschrieben möchtet, oder eben abkürzen wollt.
Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit € und aus der Beispielaufgabe aus.
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Aufgaben
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