Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder

Info

In diesem Lernpfadkapitel kannst du etwas über unmögliche Figuren und Schrägbilder lernen. Hier beschäftigst du dich damit, was Schrägbilder und Netze von geometrischen Körpern sind und wie du sie zeichnen kannst. Ebenfalls erwartet dich in diesem Kapitel, was unmögliche Figuren sind und woran du diese erkennen kannst. Dir stehen eine Vielzahl an verschiedenen Aufgaben zum Üben zur Verfügung.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

-       In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.

-       Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.

-       Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

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Diagnoseaufgaben

Übung 0

Wähle die richtige Antwort aus.

Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? Wähle die richtige Antwort aus. (!Sie werden nicht gezeichnet.)(gestrichelt) (!fett)

In welchem Winkel werden Schrägbilder meistens gezeichnet? (!50°) (45°) (!90°)

Übung 0b

Wann nennt man eine Figur unmöglich? (Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.) (!Sie sind unsichtbar.) (!Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.)

Übung 0c

Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... (...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.) (!...sechs ungleich lange Kanten hat.)

Schrägbilder und Netze

Erinnerung: Schrägbilder und Körpernetze

Vielleicht kannst du dich noch an das Thema Schrägbilder und Körpernetze aus der fünften Klasse erinnern. Lies dir zur Sicherheit noch einmal die Infobox durch, oder überspringe sie, wenn du dich schon sicher fühlst.

Körpernetze und Schrägbilder sind Darstellungshilfen, die man in der Geometrie benutzt. Durch ein Schrägbild wird auf einer ebenen Fläche ein Körper räumlich dargestellt. Beispielsweise kann man einen dreidimensionalen Körper auf einem zweidimensionalen Blatt Papier abbilden.

• Ein Körpernetz entsteht, wenn man den dreidimensionalen Körper an einigen Kanten aufschneiden und dann auseinanderklappen würde.
• Bei einem Schrägbild zeichnest du den Köper, wie der Name schon sagt, schräg von der Seite. Hierbei ist wichtig, dass die schrägen Linien meistens im Winkel von 45° gezeichnet werden. Je nach Blickpunkt, verändert sich die Perspektive auf den Körper. Die verdeckten Linien, die man von vorne nicht sehen kann, werden gestrichelt dargestellt.

Erinnerung: Wie zeichnet man ein Schrägbild?

Lies hier nochmal nach.

Jeder Körper hat eine Grundfläche. Zum Zeichnen von Schrägbildern müssen mehrere Regeln berücksichtigt werden. Zunächst wird die Grundfläche des Körpers in wahrer Größe auf ein Blatt Papier übertragen. Die wahren Längen, die in die Blattebene hinlaufen, werden verkürzt darstellt. Der Verkürzungsfaktor q beträgt meistens q= 0,5. Hierzu multipliziert man den Verkürzungsfaktor q mit der Länge der Kante. Zu beachten ist außerdem, dass die verkürzten Kanten schräg gezeichnet werden. Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundfläche und wird in wahrer Länge gezeichnet.

Erinnerung: Was für Körper kennen wir nochmal?

---

Übung 1

Welche Körper sind gegeben?

Übungen: Netze

Übung 1

Linus, Carl und Laurenz haben jeweils das Netz eines Würfels gezeichnet. Beurteile, ob die Körpernetze korrekt gezeichnet wurden. Wer hat richtig gezeichnet?

(Linus und Carl) (!Alle) (!Carl und Laurenz) (!Linus und Laurenz)

Übung 2

Markiere die Kanten, die die gleiche Kantenlänge haben, in derselben Farbe!

Übung 3

Bestimme, ob die Aussagen wahr oder falsch sind:

In einem Quader sind die Deck- und die Grundfläche immer gleich groß. (wahr) (!falsch)

Die Kugel besitzt ein Netz. (!wahr) (falsch)

Es gibt mehr als eine Lösung für Körpernetze von Schrägbildern. (wahr) (!falsch)

Schrägbilder haben keine versteckten Ecken oder Kanten. (wahr) (!falsch)

Schrägbilder sind Abbildungen geometrischer Figuren. (wahr) (!falsch)

Falls ihr eine Frage falsch beantwortet habt, könnt ihr hier nochmal die Erklärung zu den Lösungen nachgucken.

1) Bei der Konstruktion eines Quaders werden lediglich die nach hinten verlaufenden Kanten verkürzt dargestellt. Da Deck- und Grundfläche parallel zueinander liegen, sind sie immer gleichgroß.

2) Das Netz einer Kugel kann man nicht zeichnen, da ihre Oberfläche aus einer gekrümmten Fläche besteht.

3) Zu jedem Körper gibt es mehrere Netze. Je nach dem welche Kante aufgeschnitten wird, entsteht ein anderes Netz.

4) Wenn du das Schrägbild korrekt gezeichnet hast, dann solltest du aus verschiedenen Perspektiven immer alle Ecken und Kanten sehen können.

5) Du konstruierst Schrägbilder, um geometrische Figuren bzw. räumliche Körper auf dem Papier darzustellen.

Übung 4a

Zeichne das Netz einer Pyramide, eines Tetraeders, eines Quaders und eines dreieckigen Prismas.

Übung 4b

Wenn du deine gezeichneten Netze betrachtest, hast du schon eine Idee, wie man den Flächeninhalt dieser Figuren berechnen kann? Kannst du die dazugehörigen Formeln herleiten?

In einer Pyramide verstecken sich Dreiecke und ein Quadrat als geometrische Form. In einem Tetraeder versteckt sich das Dreieck, im Quader das Rechteck und einem Prisma sind Dreiecke und Rechtecke zu finden.

O_Pyramide = a² + 4 $\cdot$ ($\tfrac{1}{2}$ $\cdot$ a $\cdot$ h)

O_Tetraeder = a² $\cdot$ $\sqrt{3}$

O_Quader = 2 $\cdot$ (a $\cdot$ b + a $\cdot$ c + b $\cdot$ c)

O_Prisma = 2 $\cdot$ G + M

Übung 5

Sind die gegebenen Netze die Netze einer Pyramide?

Netz 1 ist das Netz einer Pyramide. (wahr) (!falsch)

Netz 2 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)

Netz 3 ist das Netz einer Pyramide. (wahr) (!falsch)

Netz 4 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)

Netz 5 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)

• Netz 1 ist das Netz einer Pyramide, da alle Seiten der Dreiecke sich treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils gleich lang sind.
• Netz 2 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die längeren Seiten des höheren Dreiecks nicht mit den des weniger hohen Dreiecks übereinstimmen.
• Netz 3 ist das Netz einer Pyramide, da alle Seiten der Dreiecke sich treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils gleich lang sind.
• Netz 4 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die Seiten der Dreiecke sich nicht treffen, wenn man die Dreiecke nach unten versucht zusammenzuklappen, d.h. die benachbarten Seiten der Dreiecke sind jeweils nicht gleich lang.
• Netz 5 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die Seiten der Dreiecke sich nicht treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils nicht gleich lang sind.

Übung 6

Zeichne die folgenden Netze in dein Heft und ergänze fehlende Flächen, damit das Netz eines Prismas entsteht.

Vergleiche die angegebenen Lösungen mit deinen eigenen Netzen.

Übungen: Schrägbilder

Bei den folgenden Aufgaben benötigst du dein Heft, Lineal oder Geodreieck und Bleistift.

Übung 1

Memory: Gegeben sind Körpernetze und Schrägbilder. Finde die passenden Paare.

Quadratische Pyramide
120px-Hexahedron-slowturn	Hexahedron flat color
120px-Tetrahedron-slowturn	Tetrahedron flat
Quader mit Raumdiagonale d	Auseinander geklapptes Netz eines Quaders
dreieckiges Prisma

Übung 7

Wie sieht das Schrägbild des folgenden Körpernetzes aus? Zeichne die Lösung in Dein Heft und überprüfe Dein Ergebnis mit der angegebenen Lösung.

Das Körpernetz ist das Netz eines Quaders. Vergleiche die angegebene Lösung mit deiner Lösung im Heft.

Übung 8

Carla

Übung 9

Schrägbilder korrigieren: Anna und Tom haben im Unterricht ein paar Schrägbilder gezeichnet. Beurteile, ob die Schrägbilder richtig sind. Falls sie falsch sind, finde die Fehler und korrigiere die Schrägbilder.

Übung 10a

Ein Quader hat eine Länge von 8 cm, eine Breite von 8 cm und eine Höhe von 4 cm. Zeichne sein Schrägbild in dein Heft und miss mit dem Lineal nach, wie weit die Ecke unten links vorn von der Ecke oben rechts hinten entfernt ist. Gib dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle gerundet (z. B. $4{,}5$) im Antwortsatz ein. Die gesuchte Strecke ist ________ cm lang.

Zunächst zeichnest du in wahrer Länge die Vorderseite des Quaders. Das Rechteck hat dann eine Länge von 8 cm und eine Höhe von 4 cm. Im zweiten Schritt zeichnest du von den vier Eckpunkten jeweils eine Hilfsgerade im Neigungswinkel 45°. Jetzt musst du die angegebene Breite mit dem Verkürzungsfaktor q = 0,5 multiplizieren. Die errechnte Kantenlänge von 4 cm soll jetzt die Länge der Hilfsgeraden darstellen. Hier musst du deine anfänglich gezeichneten Hilfsgeraden an die Länge von 4 cm anpassen. Die neu konstruierten Punkte musst du abschließend noch miteinander verbinden und die nicht sichtbaren Linien gestrichelt einzeichnen.

Die gesuchte Strecke beträgt 12,8 cm.

Übung 10b

Üben

Zunächst zeichnest du die Strecke AB = 6 cm in wahrer Länge. Da es sich bei dem Körper um ein gleichseitiges Prisma handelt, schneidet die Höhe die Strecke AB genau im Mittelpunkt P. Von diesem Punkt P musst du nun in einem Winkel von 45° eine Hilfslinie ziehen. Um die Länge der Hilfslinie zu ermitteln, musst du die angegebene Höhe mit 0,5 multiplizieren. Hier hätte die Strecke dann eine Länge von 2,5 cm. Jetzt musst du den entstandenen Punkt C mit den Punkten A und B verbinden, um die Grundfläche des Prismas zu erhalten. Nun musst du jeweils von den Punkten A, B, und C eine senkrechte Linie zeichnen, die der Höhe von 5 cm entspricht. Um die Konstruktion abzuschließen, musst du die weiteren Eckpunkte miteinander verbinden.

Die gesuchte Strecke beträgt $6{,}9$ cm.

Übung 12

Konstruiere die Pyramide mithilfe folgender Konstruktionsbeschreibung. Die Kantenlängen sollst du dir frei wählen.

Schritt 1: Die quadratische Grundfläche der Pyramide (linke Figur) wird als Parallelogramm ABCD (rechte Figur) gezeichnet. Dabei werden die nach hinten verlaufenden Kanten im Winkel von 45° gezeichnet und in ihrer Länge halbiert.

Schritt 2: Die Spitze S der Pyramide wird senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche ABCD angenommen.

Schritt 3: Die Spitze S der Pyramide wird mit den Eckpunkten A, B, C und D der Grundfläche verbunden. Sichtbare Linien werden durchgezeichnet. Nicht sichtbare Linien werden punktiert.

Übung 13

Zieh die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken.

Die Vorderseite des Quaders solltest du in Originalgröße zeichnen. Wenn der Quader eine Länge von  8 cm und eine Höhe von 2 cm hat, ist das Rechteck, das du als seine Vorderseite zeichnest,  8 cm breit und 2 cm hoch.

Ein Würfel hat 8 Ecken, 6 Flächen und 12 Kanten. Außerdem gilt, dass die Kanten alle gleich lang sind und die Flächen alle quadratisch. Auch sind die Flächen gleich groß. Sowohl aus der Sicht von oben, bei der Vorderansicht und der Seitenansicht sieht der Würfel immer gleich aus. Nur im Schrägbild nimmt man den Würfel auf der ebenen Fläche räumlich wahr.

Eine Pyramide ist ein Körper, der aus einem Vieleck (Drei-, Vier-, Fünfeck usw.) und mehreren Dreiecken besteht. Das Vieleck bildet die Grundfläche und die Dreiecke die Mantelfläche der Pyramide.

Übungen: Oberfläche und Volumen von Quadern und Pyramiden

Übung 1

Üben

Lösung Oberfläche: (132 cm²) (!138 cm²) (!142 cm²)

Lösung Volumen: (!65 cm³) (80 cm³) (!75 cm³)

O_Quader = 2 $\cdot$ (a $\cdot$ b + a $\cdot$ c + b $\cdot$ c)

V_Quader = a $\cdot$ b $\cdot$ c

O_Quader = 2 $\cdot$ (a $\cdot$ b + a $\cdot$ c + b $\cdot$ c) = 2 $\cdot$ (5 $\cdot$ 2 + 5 $\cdot$ 8 + 2 $\cdot$ 8) = 132

V_Quader = a $\cdot$ b $\cdot$ c = 5 $\cdot$ 2 $\cdot$ 8 = 80

Übung 2

Eine Pyramide hat eine Höhe von 5 cm. Die Länge der Kante a beträgt 1 cm. Berechne den Oberflächeninhalt und das Volumen der Pyramide.

Lösung Oberfläche: (11 cm²) (!18 cm²) (! 22 cm²)

Lösung Volumen: (!$\tfrac{8}{3}$ cm³) (!$\tfrac{2}{3}$ cm³) ($\tfrac{5}{3}$ cm³)

O_Pyramide = a² + 4 $\cdot$ ($\tfrac{1}{2}$ $\cdot$ a $\cdot$ h)

V_Pyramide = $\tfrac{1}{3}$ $\cdot$ a² $\cdot$ h

O_Pyramide = a² + 4 $\cdot$ ($\tfrac{1}{2}$ $\cdot$ a $\cdot$ h) = 1² + 4 $\cdot$ ($\tfrac{1}{2}$ $\cdot$ 1 $\cdot$ 5) = 1 + 4 $\cdot$ $2{,}5$ = 11

V_Pyramide = $\tfrac{1}{3}$ $\cdot$ a² $\cdot$ h = $\tfrac{1}{3}$ $\cdot$ 1² $\cdot$ 5 = $\tfrac{5}{3}$

Übung 3a

Ein LKW, welcher einen deutschen Supermarkt mit Früchten aus Portugal beliefert, ist $15{,}50$ m lang und $2{,}55$ m breit. Seine Ladefläche hat ein Volumen von 105 m³.

Auf dem Weg nach Deutschland muss der LKW einen Tunnel durchfahren. Dieser Tunnel kann nur von Fahrzeugen durchfahren werden, die eine maximale Höhe von $3{,}40$ m nicht überschreiten. Passt der LKW durch den Tunnel? Berechne die Höhe des LKWs.

Der LKW... (...kann durch den Tunnel durchfahren.) (!...ist zu hoch.)

Der LKW hat die Form eines Quaders.

Stelle die Formel zur Volumenberechnung zur Höhe um.

Volumen = Länge $\cdot$ Breite $\cdot$ Höhe

Höhe = $\frac{Volumen}{Länge \cdot Breite}$

H = $\tfrac{105}{15{,}5 \cdot 2{,}55 }$ ≈ $2{,}7$

Übung 3b

Der belieferte Supermarkt möchte bereits vor der Ankunft wissen, wie viele Orangenkisten mit der Lieferung gebracht werden, um im Lagerraum ausreichend Platz zu schaffen. Eine Kiste ist ein Meter lang, $0{,}4$ m hoch und $0{,}4$ m breit. Wie viele Kisten passen auf die Ladefläche des LKWs?

Auf den LKW passen… (!675 Kisten) (!683 Kisten) (656 Kisten) (!612 Kisten)

Berechne zunächst das Volumen einer Orangenkisten.

Du kennst das Volumen des LKWs. Jetzt musst Du ausrechnen, wie viele Kisten in das Volumen des LKWs passen.

Bezeichne die Anzahl der Kisten mit x. Nutze zum Ausrechnen diese Formel: V_LKW = V_Kiste $\cdot$ x. Beachte, dass du das Ergebnis abrunden musst. Angefangene Kisten können im LKW nicht verstaut werden.

V_LKW = V_Kiste $\cdot$ x

x = $\tfrac{V_{LKW}}{V_{Kiste}}$

x = $\tfrac{105}{0,16}$

x = $656{,}25$

Auf den LKW passen 656 Kisten.

Unmögliche Figuren

Falls Du Dir unsicher bist, was unmögliche Figuren sind, lies Dir die Infobox einmal durch.

Unmögliche Figuren sind grafisch zweidimensionale Figuren, die dreidimensional erscheinen aber körperhaft nicht existieren können. Die geometrischen, dreidimensionalen Objekte kann man in der Realität gar nicht herstellen. Gezeichnet werden können sie auf (dem zweidimensionalen) Papier aber ohne Probleme. Bei den Figuren handelt es sich meist um optische Täuschungen.

Beispiele von unmöglichen Figuren:

Die unmögliche Lattenkiste

Unmöglicher Würfel

Übungen: unmögliche Figuren

Übung 1

Im unteren Kasten siehst du unmögliche Figuren und nicht unmögliche Figuren. Bestimme, ob die Figuren unmöglich sind oder nicht und ordne sie richtig zu.

unmögliche Figuren				Penrose-Treppe
geometrische Körper/Konstruktionen	treppe	Kiste	gdjusdsk

Idee

Vielleicht kennst du ja auch schon ein paar unmögliche Figuren, natürlich nicht aus unserer Realität, aber ja aus Filmen? Eine der obigen Figuren kommt zum Beispiel in einer Szene aus Inception (2010) vor, die du dir hier auf YouTube angucken kannst:

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Übung 2

Wie müsste man die unmögliche Kiste bzw. den unmöglichen Würfel verändern, damit diese/r keine unmögliche Figur mehr ist?

Übung 3

Betrachte das Penrose-Dreieck. Welche Besonderheiten fallen dir auf? Wordurch wird die optische Täuschung hervorgerufen? Welches mathematische Gesetz zeigt, dass das Dreieck im Dreidimensionalen nict existieren kann?

Penrose Dreieck (auch Tribar = drei Balken, die jeweils im rechten Winkel zueinander stehen und dennoch zu einem Dreieck verbunden sind. Damit verstößt es gegen mehrere Gesetze der Euklidischen Geometrie, unter anderem gegen jenes, das besagt, dass die Winkelsumme in einem Dreieck stets 180° beträgt. Der Betrachter einer Tribar-Darstellung ist mit der Schwierigkeit konfrontiert, seine Entfernung zu den Teilen des Tribars und ihre Lage im dargestellten Raum immer wieder neu interpretieren zu müssen.

-> Zusammenhang zu Schrägbildern und verdeckten Linien.

Quellen

orientiert an:

• https://learnattack.de/mathematik/koerpernetz-und-schraegbild-von-koerpern#video-was-sind-schr%C3%A4gbild-und-netz-eines-k%C3%B6rpers
• https://www.geogebra.org/material/show/id/ab93zf9g#
• https://www.geogebra.org/material/show/id/Z57aCNpm#
• https://www.youtube.com/watch?v=dvSD1EAlAUQ