Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder: Unterschied zwischen den Versionen
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3) Zu jedem Körper gibt es mehrere Netze. Je nach dem welche Kante aufgeschnitten wird, entsteht ein anderes Netz. | 3) Zu jedem Körper gibt es mehrere Netze. Je nach dem welche Kante aufgeschnitten wird, entsteht ein anderes Netz. | ||
4) Wenn | 4) Wenn du das Schrägbild korrekt gezeichnet hast, dann solltest du aus verschiedenen Perspektiven immer alle Ecken und Kanten sehen können. | ||
5) Du konstruierst Schrägbilder, um geometrische Figuren bzw. räumliche Körper auf dem Papier darzustellen.|2=Erklärungen|3=Einklappen|Farbe={{Farbe|orange}}}} | 5) Du konstruierst Schrägbilder, um geometrische Figuren bzw. räumliche Körper auf dem Papier darzustellen.|2=Erklärungen|3=Einklappen|Farbe={{Farbe|orange}}}} | ||
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{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="UaEEaDy7" width="800" height="550" border="888888" />|2=So sieht das Netz eines Tetraeders aus:|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="UaEEaDy7" width="800" height="550" border="888888" />|2=So sieht das Netz eines Tetraeders aus:|3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="EwEjZUYn" width="869" height="486" border="888888" />|2=So sieht das Netz eines dreieckigen Prismas aus:|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="EwEjZUYn" width="869" height="486" border="888888" />|2=So sieht das Netz eines dreieckigen Prismas aus:|3=Einklappen}} | ||
{{Box|Übung 5 b|Wenn | {{Box|Übung 5 b|Wenn du deine gezeichneten Netze betrachtest, hast du schon eine Idee, wie man den Flächeninhalt dieser Figuren berechnen kann? Kannst du die dazugehörigen Formeln herleiten? |Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=In einer Pyramide verstecken sich Dreiecke und ein Quadrat als geometrische Form. In einem Tetraeder versteckt sich das Dreieck, im Quader das Rechteck und einem Prisma sind Dreiecke und Rechtecke zu finden.|2=Tipp 1:Aus welchen geometrischen Formen besteht eine Pyramide, ein Tetraeder, ein Quader und ein Prisma?|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1=In einer Pyramide verstecken sich Dreiecke und ein Quadrat als geometrische Form. In einem Tetraeder versteckt sich das Dreieck, im Quader das Rechteck und einem Prisma sind Dreiecke und Rechtecke zu finden.|2=Tipp 1:Aus welchen geometrischen Formen besteht eine Pyramide, ein Tetraeder, ein Quader und ein Prisma?|3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=O<sub>Pyramide</sub> = a² + 4 <math>\cdot</math> (<math>\tfrac{1}{2}</math> <math>\cdot</math> a <math>\cdot</math> h) | {{Lösung versteckt|1=O<sub>Pyramide</sub> = a² + 4 <math>\cdot</math> (<math>\tfrac{1}{2}</math> <math>\cdot</math> a <math>\cdot</math> h) | ||
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{{Lösung versteckt|1= Hierbei handelt es sich um das Körpernetz eines Quaders. So sollte | {{Lösung versteckt|1= Hierbei handelt es sich um das Körpernetz eines Quaders. So sollte deine Lösung im Heft aussehen. [[Datei:Lösung.jpg|minialternativtext=|zentriert]] |2=Lösung|3=Einklappen}} | ||
{{Box|Übung 9| | {{Box|Übung 9|Carla|Üben}} | ||
{{Box|Übung 10|Schrägbilder korrigieren: Anna und Tom hatten Langeweiel und haben im Zuge dessen ein paar Schrägbilder gezeichnet. Etwas stimmt allerdings nicht... Finde die Fehler und korrigiere die Schrägbilder.|Üben}} | {{Box|Übung 10|Schrägbilder korrigieren: Anna und Tom hatten Langeweiel und haben im Zuge dessen ein paar Schrägbilder gezeichnet. Etwas stimmt allerdings nicht... Finde die Fehler und korrigiere die Schrägbilder.|Üben}} | ||
{{Box|Übung 11 a| Ein Quader hat eine Länge von 8 cm, eine Breite von 8 cm und eine Höhe von 4 cm. Zeichne sein Schrägbild und miss mit dem Lineal, wie weit die Ecke unten links vorn von der Ecke oben rechts hinten entfernt ist. Gib dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle gerundet (z. B. <math>4{,}5</math>) im Antwortsatz ein. Die gesuchte Strecke ist ________ cm lang.|Üben | Farbe={{Farbe|orange}} }} | {{Box|Übung 11 a| Ein Quader hat eine Länge von 8 cm, eine Breite von 8 cm und eine Höhe von 4 cm. Zeichne sein Schrägbild in dein Heft und miss mit dem Lineal nach, wie weit die Ecke unten links vorn von der Ecke oben rechts hinten entfernt ist. Gib dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle gerundet (z. B. <math>4{,}5</math>) im Antwortsatz ein. Die gesuchte Strecke ist ________ cm lang.|Üben | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
{{Lösung versteckt|1= Zunächst zeichnest du in wahrer Länge die Vorderseite des Quaders. Das Rechteck hat dann eine Länge von 8 cm und eine Höhe von 4 cm. Im zweiten Schritt zeichnest du von den vier Eckpunkten jeweils eine Hilfsgerade im Neigungswinkel 45°. Jetzt musst du die angegebene Breite mit dem Verkürzungsfaktor q = 0,5 multiplizieren. Die errechnte Kantenlänge von 4 cm soll jetzt die Länge der Hilfsgeraden darstellen. Hier musst du deine anfänglich gezeichneten Hilfsgeraden an die Länge von 4 cm anpassen. Die neu konstruierten Punkte musst du abschließend noch miteinander verbinden und die nicht sichtbaren Linien gestrichelt einzeichnen. |2=Falls du dir unsicher bist, wie | {{Lösung versteckt|1= Zunächst zeichnest du in wahrer Länge die Vorderseite des Quaders. Das Rechteck hat dann eine Länge von 8 cm und eine Höhe von 4 cm. Im zweiten Schritt zeichnest du von den vier Eckpunkten jeweils eine Hilfsgerade im Neigungswinkel 45°. Jetzt musst du die angegebene Breite mit dem Verkürzungsfaktor q = 0,5 multiplizieren. Die errechnte Kantenlänge von 4 cm soll jetzt die Länge der Hilfsgeraden darstellen. Hier musst du deine anfänglich gezeichneten Hilfsgeraden an die Länge von 4 cm anpassen. Die neu konstruierten Punkte musst du abschließend noch miteinander verbinden und die nicht sichtbaren Linien gestrichelt einzeichnen. |2=Falls du dir unsicher bist, wie du die Körper konstruieren sollst, lies hier nochmal nach. |3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Die gesuchte Strecke beträgt 12,8 cm.[[Datei:Lösungsskizze.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]] |2=Lösungen|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Die gesuchte Strecke beträgt 12,8 cm.[[Datei:Lösungsskizze.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]] |2=Lösungen|3=Einklappen}} | ||
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{{Box|Übung 11b| Ein gleichseitiges Prisma hat eine Seitenlänge von a = 6 cm und eine Höhe von h = 5 cm. Zeichne das Schrägbild und miss mit dem Lineal nach, wie weit die vordere Ecke unten rechts von der hinteren Ecke oben entfernt ist. Gib dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle gerundet im Antwortsatz ein. Die gesuchte Strecke ist ________ cm lang.| Üben}} | {{Box|Übung 11b| Ein gleichseitiges Prisma hat eine Seitenlänge von a = 6 cm und eine Höhe von h = 5 cm. Zeichne das Schrägbild in dein Heft und miss mit dem Lineal nach, wie weit die vordere Ecke unten rechts von der hinteren Ecke oben entfernt ist. Gib dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle gerundet im Antwortsatz ein. Die gesuchte Strecke ist ________ cm lang.| Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Zunächst zeichnest du die Strecke AB = 6 cm in wahrer Länge. Da es sich bei dem Körper um ein gleichseitiges Prisma handelt, schneidet die Höhe die Strecke AB genau im Mittelpunkt P. Von diesem Punkt P musst du nun in einem Winkel von 45° eine Hilfslinie ziehen. Um die Länge der Hilfslinie zu ermitteln, musst du die angegebene Höhe mit 0,5 multiplizieren. Hier hätte die Strecke dann eine Länge von 2,5 cm. Jetzt musst du den entstandenen Punkt C mit den Punkten A und B verbinden, um die Grundfläche des Prismas zu erhalten. Nun musst du jeweils von den Punkten A, B, und C eine senkrechte Linie zeichnen, die der Höhe von 5 cm entspricht. Um die Konstruktion abzuschließen, musst du die weiteren Eckpunkte miteinander verbinden. |2=Hier findest du eine genaue Beschreibung zur Konstruktion des Prismas. |3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Zunächst zeichnest du die Strecke AB = 6 cm in wahrer Länge. Da es sich bei dem Körper um ein gleichseitiges Prisma handelt, schneidet die Höhe die Strecke AB genau im Mittelpunkt P. Von diesem Punkt P musst du nun in einem Winkel von 45° eine Hilfslinie ziehen. Um die Länge der Hilfslinie zu ermitteln, musst du die angegebene Höhe mit 0,5 multiplizieren. Hier hätte die Strecke dann eine Länge von 2,5 cm. Jetzt musst du den entstandenen Punkt C mit den Punkten A und B verbinden, um die Grundfläche des Prismas zu erhalten. Nun musst du jeweils von den Punkten A, B, und C eine senkrechte Linie zeichnen, die der Höhe von 5 cm entspricht. Um die Konstruktion abzuschließen, musst du die weiteren Eckpunkte miteinander verbinden. |2=Hier findest du eine genaue Beschreibung zur Konstruktion des Prismas. |3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Die gesuchte Strecke beträgt <math>6{,}9</math> cm.|2=Lösungen|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Die gesuchte Strecke beträgt <math>6{,}9</math> cm.|2=Lösungen|3=Einklappen}} | ||
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{{Box|Übung 16a|Ein LKW, welcher einen deutschen Supermarkt mit Früchten aus Portugal beliefert, ist <math>15{,}50</math> m lang und <math>2{,}55</math> m breit. Seine Ladefläche hat ein Volumen von 105 m³. | {{Box|Übung 16a|Ein LKW, welcher einen deutschen Supermarkt mit Früchten aus Portugal beliefert, ist <math>15{,}50</math> m lang und <math>2{,}55</math> m breit. Seine Ladefläche hat ein Volumen von 105 m³. | ||
Auf dem Weg nach Deutschland muss der LKW einen Tunnel durchfahren. Dieser Tunnel kann nur von Fahrzeugen durchfahren werden, die eine maximale Höhe von <math>3{,}40</math> m nicht überschreiten. Passt der LKW durch den Tunnel? Berechne die Höhe des LKWs | Auf dem Weg nach Deutschland muss der LKW einen Tunnel durchfahren. Dieser Tunnel kann nur von Fahrzeugen durchfahren werden, die eine maximale Höhe von <math>3{,}40</math> m nicht überschreiten. Passt der LKW durch den Tunnel? Berechne die Höhe des LKWs.|Üben}} | ||
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
Der LKW... (...kann durch den Tunnel durchfahren.) (!...ist zu hoch.) | Der LKW... (...kann durch den Tunnel durchfahren.) (!...ist zu hoch.) | ||
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Höhe = <math>\frac{Volumen}{Länge \cdot Breite}</math> | Höhe = <math>\frac{Volumen}{Länge \cdot Breite}</math> | ||
H = <math>\tfrac{105}{15{,}5 \cdot 2{,}55 }</math> ≈ <math>2{,}7</math>|2=Bist | H = <math>\tfrac{105}{15{,}5 \cdot 2{,}55 }</math> ≈ <math>2{,}7</math>|2=Bist du nicht auf das Ergebnis gekommen? Hier findest du den Rechenweg.|3=Einklappen}} | ||
{{Box|Übung 16 b| Der belieferte Supermarkt möchte bereits vor der Ankunft wissen, wie viele Orangenkisten mit der Lieferung gebracht werden, um im Lagerraum ausreichend Platz zu schaffen. Eine Kiste ist ein Meter lang, <math>0{,}4</math> m hoch und <math>0{,}4</math> m breit. Wie viele Kisten passen auf die Ladefläche des LKWs?|Üben | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | {{Box|Übung 16 b| Der belieferte Supermarkt möchte bereits vor der Ankunft wissen, wie viele Orangenkisten mit der Lieferung gebracht werden, um im Lagerraum ausreichend Platz zu schaffen. Eine Kiste ist ein Meter lang, <math>0{,}4</math> m hoch und <math>0{,}4</math> m breit. Wie viele Kisten passen auf die Ladefläche des LKWs?|Üben | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
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|2=Tipp 1|3=Einklappen}} | |2=Tipp 1|3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Du kennst das Volumen des LKWs. Jetzt musst Du ausrechnen, wie viele Kisten in das Volumen des LKWs passen. |2=Tipp 2|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1=Du kennst das Volumen des LKWs. Jetzt musst Du ausrechnen, wie viele Kisten in das Volumen des LKWs passen. |2=Tipp 2|3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne die Anzahl der Kisten mit x. Nutze zum Ausrechnen diese Formel: V<sub>LKW</sub> = V<sub> | {{Lösung versteckt|1=Bezeichne die Anzahl der Kisten mit x. Nutze zum Ausrechnen diese Formel: V<sub>LKW</sub> = V<sub>Kiste</sub> <math>\cdot</math> x. Beachte, dass du das Ergebnis abrunden musst. Angefangene Kisten können im LKW nicht verstaut werden.|2=Tipp 3|3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
V<sub>LKW</sub> = V<sub>Kiste</sub> <math>\cdot</math> x | V<sub>LKW</sub> = V<sub>Kiste</sub> <math>\cdot</math> x | ||
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x = <math>656{,}25</math> | x = <math>656{,}25</math> | ||
Auf den LKW passen 656 Kisten.|2=Bist | Auf den LKW passen 656 Kisten.|2=Bist du nicht auf das Ergebnis gekommen? Hier findest du den Rechenweg.|3=Einklappen}} | ||
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===Übungen: unmögliche Figuren=== | ===Übungen: unmögliche Figuren=== | ||
{{Box|Übung 17|Im unteren Kasten siehst | {{Box|Übung 17|Im unteren Kasten siehst du unmögliche Figuren und nicht unmögliche Figuren. Bestimme, ob die Figuren unmöglich sind oder nicht und ordne sie richtig zu.|Üben}} | ||
<div class="zuordnungs-quiz"> | <div class="zuordnungs-quiz"> | ||
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</div> | </div> | ||
{{Box|Idee | {{Box|Idee | ||
| 2 = Vielleicht | | 2 = Vielleicht kennst du ja auch schon ein paar unmögliche Figuren, natürlich nicht aus unserer Realität, aber ja aus Filmen? Eine der obigen Figuren kommt zum Beispiel in einer Szene aus Inception (2010) vor, die du dir hier auf YouTube angucken kannst: | ||
| 3 = Unterrichtsidee | | 3 = Unterrichtsidee | ||
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Version vom 11. November 2020, 14:09 Uhr
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Diagnoseaufgaben
Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? Wähle die richtige Antwort aus. (!Sie werden nicht gezeichnet.)(gestrichelt) (!fett)
In welchem Winkel werden Schrägbilder meistens gezeichnet? (!50°) (45°) (!90°)
Wann nennt man eine Figur unmöglich? (Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.) (!Sie sind unsichtbar.) (!Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.)
Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... (...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.) (!...sechs ungleich lange Kanten hat.)
Schrägbilder und Netze
Körpernetze und Schrägbilder sind Darstellungshilfen, die man in der Geometrie benutzt. Durch ein Schrägbild wird auf einer ebenen Fläche ein Körper räumlich dargestellt. Beispielsweise kann man einen dreidimensionalen Körper auf einem zweidimensionalen Blatt Papier abbilden.
- Ein Körpernetz entsteht, wenn man den dreidimensionalen Körper an einigen Kanten aufschneiden und dann auseinanderklappen würde.
- Bei einem Schrägbild zeichnest du den Köper, wie der Name schon sagt, schräg von der Seite. Hierbei ist wichtig, dass die schrägen Linien meistens im Winkel von 45° gezeichnet werden. Je nach Blickpunkt, verändert sich die Perspektive auf den Körper. Die verdeckten Linien, die man von vorne nicht sehen kann, werden gestrichelt dargestellt.
Übungen: Netze
--> Lisas Idee
(Linus und Carl) (!Alle) (!Carl und Laurenz) (!Linus und Laurenz)
In einem Quader sind die Deck- und die Grundfläche immer gleich groß. (wahr) (!falsch)
Die Kugel besitzt ein Netz. (!wahr) (falsch)
Es gibt mehr als eine Lösung für Körpernetze von Schrägbildern. (wahr) (!falsch)
Schrägbilder haben keine versteckten Ecken oder Kanten. (wahr) (!falsch)
Schrägbilder sind Abbildungen geometrischer Figuren. (wahr) (!falsch)
Falls ihr eine Frage falsch beantwortet habt, könnt ihr hier nochmal die Erklärung zu den Lösungen nachgucken.
1) Bei der Konstruktion eines Quaders werden lediglich die nach hinten verlaufenden Kanten verkürzt dargestellt. Da Deck- und Grundfläche parallel zueinander liegen, sind sie immer gleichgroß.
2) Das Netz einer Kugel kann man nicht zeichnen, da ihre Oberfläche aus einer gekrümmten Fläche besteht.
3) Zu jedem Körper gibt es mehrere Netze. Je nach dem welche Kante aufgeschnitten wird, entsteht ein anderes Netz.
4) Wenn du das Schrägbild korrekt gezeichnet hast, dann solltest du aus verschiedenen Perspektiven immer alle Ecken und Kanten sehen können.
5) Du konstruierst Schrägbilder, um geometrische Figuren bzw. räumliche Körper auf dem Papier darzustellen.
OPyramide = a² + 4 ( a h)
OTetraeder = a²
OQuader = 2 (a b + a c + b c)
OPrisma = 2 G + M
Übungen: Schrägbilder
Die Vorderseite des Quaders solltest du in Originalgröße zeichnen. Wenn der Quader eine Länge von 8 cm und eine Höhe von 2 cm hat, ist das Rechteck, das du als seine Vorderseite zeichnest, 8 cm breit und 2 cm hoch.
Ein Würfel hat 8 Ecken, 6 Flächen und 12 Kanten. Außerdem gilt, dass die Kanten alle gleich lang sind und die Flächen alle quadratisch. Auch sind die Flächen gleich groß. Sowohl aus der Sicht von oben, bei der Vorderansicht und der Seitenansicht sieht der Würfel immer gleich aus. Nur im Schrägbild nimmt man den Würfel auf der ebenen Fläche räumlich wahr.
Eine Pyramide ist ein Körper, der aus einem Vieleck (Drei-, Vier-, Fünfeck usw.) und mehreren Dreiecken besteht. Das Vieleck bildet die Grundfläche und die Dreiecke die Mantelfläche der Pyramide.
Übungen: Oberfläche und Volumen von Quadern und Pyramiden
Lösung Oberfläche: (132 cm²) (!138 cm²) (!142 cm²)
Lösung Volumen: (!65 cm³) (80 cm³) (!75 cm³)
OQuader = 2 (a b + a c + b c)
VQuader = a b cOQuader = 2 (a b + a c + b c) = 2 (5 2 + 5 8 + 2 8) = 132
VQuader = a b c = 5 2 8 = 80
Lösung Oberfläche: (11 cm²) (!18 cm²) (! 22 cm²)
Lösung Volumen: (! cm³) (! cm³) ( cm³)
OPyramide = a² + 4 ( a h)
VPyramide = a² hOPyramide = a² + 4 ( a h) = 1² + 4 ( 1 5) = 1 + 4 = 11
VPyramide = a² h = 1² 5 =
Der LKW... (...kann durch den Tunnel durchfahren.) (!...ist zu hoch.)
Volumen = Länge Breite Höhe
Höhe = Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \frac{Volumen}{Länge \cdot Breite}}
H = ≈
Auf den LKW passen… (!675 Kisten) (!683 Kisten) (656 Kisten) (!612 Kisten)
VLKW = VKiste x
x =
x =
x =
Auf den LKW passen 656 Kisten.
Unmögliche Figuren
Falls Du Dir unsicher bist, was unmögliche Figuren sind, lies Dir die Infobox einmal durch.
Beispiele von unmöglichen Figuren:
Übungen: unmögliche Figuren
-> Zusammenhang zu Schrägbildern und verdeckten Linien.
Quellen
orientiert an: