Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion

Aus ZUM Projektwiki
Lernziele

Ziel dieses Lernpfades ist es, vielfältige Kompetenzen im Bereich der Integralrechnung aufzubauen und zu stärken. Das heißt, die Schüler*innen:

  • skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion,
  • vollziehen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs,
  • erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung),
  • bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen,
  • nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen,
  • bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge,  
  • ermitteln Flächeninhalte mithilfe von bestimmten Integralen.
Die LK-Schüler*innen nutzen zudem die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion der Funktion f(x) = 1/x und bestimmen Flächeninhalte und Volumina von Körpern, die durch die Rotation um die Abszisse entstehen, mithilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen.


Allgemeine Info

Zuerst erklären wir Dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst Du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Zu jedem Kapitel wurden Aufgaben beigefügt, die Dir dabei helfen das Wissen besser zu verstehen und zu vertiefen. Bei diesen Aufgaben handelt es sich um 3 verschiedene Schwierigkeitsstufen, die farblich gekennzeichnet sind:

  • Aufgaben mit gelbem Titel sind zum Wiederholen und Vertiefen
  • Aufgaben mit blauem Titel sind von mittlerer Schwierigkeit
  • Aufgaben mit grünem Titel sind Knobelaufgaben

Die mit einem Sternchen markierten Aufgaben sind insbesondere für den LK gedacht.


Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Lernpfades!

Einführung: Integral

Was ist ein Integral?

Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummenfolgen bestimmt werden. Dies nennt man das Integral von über das Intervall und schreibt dafür .

Die Funktion heißt dann über integrierbar. Dabei ist die untere und die obere Integrationsgrenze und die Rand- oder auch Integrandfunktion.

Betrachtet man die Werte von Integralen in Abhängigkeit von einer festen unteren Grenze und einer variablen (anstelle einer festen) oberen Grenze und verwendet deshalb als Variable der Integrandfunktion , so erhält man eine Integralfunktion

ist also eine Funktion, die jedem das Integral von über zuordnet. ist dabei die Funktionsvariable, in sie darf eingesetzt werden, während eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf.

Eine Funktion heißt Stammfunktion zur Funktion , wenn gilt für alle .


Rechnen mit Integralen

Aufgabe 1:

Welche der folgenden Rechenregeln sind richtig und welche falsch?

1

Wahr
Falsch

2

Wahr
Falsch

3

Wahr
Falsch

1

Wahr
Falsch

2

Wahr
Falsch

3

Wahr
Falsch

1

Wahr
Falsch

2

Wahr
Falsch

3

Wahr
Falsch

1

Wahr
Falsch

2

Wahr
Falsch

3

Wahr
Falsch

1

Wahr
Falsch

2

Wahr
Falsch

3

Wahr
Falsch

1 , wenn für alle

Wahr
Falsch

2 , wenn für alle

Wahr
Falsch

3 , wenn für alle

Wahr
Falsch

1

Wahr
Falsch

2

Wahr
Falsch

3

Wahr
Falsch

1

Wahr
Falsch

2

Wahr
Falsch

3

Wahr
Falsch

Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen

Der Mittelwert einer Funktion lässt sich über das Integral bestimmen.

Bezeichnen wir mit eine Funktion. Der Mittelwert einer Funktion lässt sich auf dem Intervall berechnen. Hierzu benötigst du folgende Formel:

Ein Auto beschleunigt 40 Sekunden lang. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt ist gegeben durch , wobei in Sekunden und die Funktion in m/s angegeben wird. Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?

Vorgehen zur Bearbeitung der Testaufgabe

  1. Benutzung der Formel:
  2. Einsetzen der Gegebenheiten in die Formel:
  3. Ausrechnen:
  4. Antwortsatz formulieren: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto 25 m/s.

Aufgaben zum Berechnen von Mittelwerten

Löse die Aufgaben. (Du brauchst einen Zettel und einen Stift)

1. Berechne eine Zahl so, dass die Funktion den Wert als Mittelwert annimmt.

2. a) Zeichne das Bild der Funktion mit für

b)Begründe, dass es zu eine Integralfunktion gibt.

c) Bestimme näherungsweise, indem du den Mittelwert bestimmst.


Löse die Textaufgabe. (Du brauchst einen Zettel und einen Stift)
In einem Labor werden Bakterien gezüchtet. Die Anzahl der Bakterien in den ersten 10 Tagen durch die Funktion

a) Wie viele Bakterien gibt es am 8. Tag? b) Wie viele Bakterien gibt es in den ersten 8 Tagen im Durchschnitt? c) Wie viele Bakterien werden durchschnittlich zwischen dem 2. und 4. Tag gezüchtet?

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen

Der Hauptsatz beschreibt, wie sich Ableitung und Integration umkehren lassen. Durch ihn lassen sich beispielsweise Integrale leichter ausrechnen. Der Hauptsatz besteht aus zwei Teilen, die es zu unterscheiden gilt.

Der erste Teil des Hauptsatzes

Wenn f eine stetige Funktion auf dem Intervall ist, so gilt für jede Stammfunktion F auf dem Intervall die Formel: , wobei ist. Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion F (re-)konstruieren, wenn du deren Ableitung und einen Anfangswert a kennst. Dies kannst du mit dieser Formel machen:

Gegeben ist die Funktion auf dem Intervall 1 Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion F:

2 Schritt: Berechne F(a) und F(b) durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen in F(x):

3 Schritt: Bilde die Differenz :

Der zweite Teil des Hauptsatzes

Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion F aus und bestimmen f(x). Hierbei gilt:

Aufgaben zur Mittelwertsberechnung und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Löse die Textaufgabe

1. Die Abbildung zeigt das Schaubild der Funktion f mit

a) Ermittle einen Näherungswert für , indem du den Mittelwert der Ober- und Untersumme für 8 gleich lange Teilintervalle Berechnen. Schätze dazu die orientierten Rechteckinhalte.

b) Berechne einen Näherungswert für .

c) Welchen exakten Wert für das Integral erhältst du mithilfe des Hauptsatzes?

Partielle Integration

Partielle Integration

Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist.

Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:

Dabei ist das ursprüngliche Integral.

ist die leicht zu integrierende Funktion.

ist die leicht abzuleitende Funktion.

Die Beispielfunktion lautet:

lässt sich leicht integrieren. Also und

lässt sich leicht ableiten. Also und

Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden:

Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von lautet somit:

Integration durch Substitution

Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:

Vorgehen

  1. Zunächst wird die innere Funktion dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also
  2. Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also
  3. und dann nach dx umgeformt:
  4. Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung angepasst werden: neue untere Grenze neue obere Grenze
  5. Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt.
  6. Nun folgt das normale Integrationsverfahren.
  7. Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion eingesetzt.

Die zu integrierende Funktion lautet:

Zu bestimmen:

  1. Die innere Funktion ist
  2. Ableitung der Funktion:
  3. Umformen nach dx:
  4. Anpassung der alten Grenzen
  5. Einsetzen in das Integral:
  6. Integration:
  7. Die Funktion für die Variable ersetzen:
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von lautet:

Aufgaben zur partiellen Integration und Integration durch Substitution

Übung 1: Integration von komplexeren Funktionen
Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen? Hierfür benötigt ihr einen Zettel und einen Stift, um die Funktion schriftlich zu integrieren.

a)

Nutze die partielle Integration
Setze die leicht abzuleitende Funktion und die leicht zu integrierende Funktion

b)

Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion und leite sie nach x ab


c)

Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion und leite sie nach x ab


 im Intervall 
Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Bilde die Stammfunktion von f(x) und betrachte die Grenzen zunächst einzeln
daraus folgt


 im Intervall 
Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Bilde die Stammfunktion von f(x), betrachte die Grenzen zunächst einzeln und denke an die binomischen Formeln
daraus folgt



weiterführende Aufgaben: Flächeninhalte von Integralen

Übungsaufgabe 1: Flächeninhalte berechnen


Textaufgabe: Zahn-Logo für eine Praxis
Skizze des Zahn-Logos
In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen und das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber ( Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden?


Bearbeite diese Textaufgabe am besten schriftlich auf einem Zettel.


Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt:
Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.
Wenn du die Fläche des Logos wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das nun durch das Produkt von und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen
Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.
 

Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)

Rotationskörper und Raumintegrale

Lässt man den Graphen einer Funktion um die x-Achse rotieren, so entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Für seinen Rauminhalt gilt .

Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius , die durch die Rotation des Graphen der Funktion mit im Intervall um die -Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel:

Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.

GeoGebra

Aufgaben

Übungsaufgabe 1: Rotationskörper und Raumintegrale
Funktionsgraph von
Gegeben sei die Funktion mit . Die Fläche von f rotiere um die -Achse.

Berechne den Inhalt des entstehenden Drehkörpers:

a) im Intervall

b) im Intervall

Bearbeite diese Aufgabe am besten schriftlich auf einem Zettel.

Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern und setze die Funktion sowie die Grenzen und ein.

a)

b) Für das Intervall gilt dann nach Aufgabenteil a): .


Übungsaufgabe 2: Rotationskörper und Raumintegrale
Funktionsgraphen von (orange) und (lila)
Sei eine Funktion gegeben mit sowie die Funktion mit .

Die Graphen von und begrenzen mit der -Achse eine Fläche.

Berechne den Inhalt des Körpers, der entsteht, wenn diese Fläche um die -Achse rotiert.

Bearbeite diese Aufgabe am besten schriftlich auf einem Zettel.

Überlege dir, wie die Formel aussieht, die du zur Berechnung des Inhalts zwischen zwei Funktionen nutzen musst.
Die Formel zur Inhaltsberechnung lautet: , wobei der Schnittpunkt von und ist. Berechne also zunächst den Schnittpunkt.
Der Schnittpunkt von und ist . Setze dies nun als obere Grenze in deine Formel (siehe Tipp 2) ein und berechne die Integrale. Nutze dafür die Substitution sowie dein Wissen über Potenzregeln und Linearität.

1. Schnittpunkt berechnen:

Für uns interessant ist nur der Wert im positiven -Bereich, da die Fläche links von der -Achse laut Aufgabenstellung nicht betrachtet wird.

Setze in oder ein. Dann folgt bspw. für :

2. Integrale berechnen:

Substituiere

Nun muss die Potenzregel angewendet und resubstitutiert werden. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann: