Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ||
{{Box| Mittelwert |Mit einem Integral, zu einer Funktion <math>k</math>, kannst du den Mittelwert der Funktion <math> k </math> bestimmen. | {{Box| Mittelwert |Mit einem Integral, zu einer Funktion <math>k</math>, kannst du den Mittelwert der Funktion <math> k </math> auf diesem Intervall bestimmen. Bei der Berechnung verwendest du den Wert des bestimmten Integrals und dessen Breite. | ||
Hierzu benötigst du folgende Formel: | Hierzu benötigst du folgende Formel: | ||
<math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math>. | <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math>. | ||
Da solche Formeln sehr theoretisch sind, haben wir dir zur Formel des Mittelwertes eine Skizze gemacht. | Da solche Formeln sehr theoretisch sind, haben wir dir zur Formel des Mittelwertes eine Skizze gemacht. | ||
[[Datei:Formel des Mittelwertes einer Funktion (1).jpg| | [[Datei:Formel des Mittelwertes einer Funktion (1).jpg|ohne|483x483px|Formel des Mittelwertes einer Funktion]] | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Ein Auto beschleunigt 40 Sekunden lang. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t</math> ist gegeben durch | Ein Auto beschleunigt 40 Sekunden lang. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t</math> ist gegeben durch | ||
<math> f(t)= \frac{5}{4} \cdot t </math>, wobei <math>t</math> in Sekunden und die Funktion <math>f(t)</math> in <math>m | <math> f(t)= \frac{5}{4} \cdot t </math>, wobei <math>t</math> in Sekunden und die Funktion <math>f(t)</math> in <math>\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}</math> angegeben wird. | ||
Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? | Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? | ||
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#Schreibe dir die allgemeine Formel erstmal auf: <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | #Schreibe dir die allgemeine Formel erstmal auf: <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | ||
#Setze alle Variablen, die du aus der Aufgabe hast ein: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{ | #Setze alle Variablen, die du aus der Aufgabe hast ein: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{0}^{40} \frac{5}{4} \cdot t \,dt </math> | ||
#Berechne den Mittelwert: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{ | #Berechne den Mittelwert: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{0}^{40} \frac{5}{4} \cdot t \,dt= \frac{1}{40} \cdot [\frac{5}{8} \cdot t^2]_{0}^{40}=\frac{1}{40} \cdot \Big[ \frac{5}{8} \cdot 40^2 - \frac{5}{8} \cdot 0^2 \Big] = \frac{1}{40} \cdot 1000 = 25 </math> | ||
#Formuliere den Antwortsatz: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto <math> 25 m | #Formuliere den Antwortsatz: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto <math>25 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}</math>.| Beispielaufgabe anzeigen | Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | ||
Version vom 12. Juni 2020, 23:23 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)