Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
KKeine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 273: | Zeile 273: | ||
==Integration durch Substitution== | ==Integration durch Substitution== | ||
{{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, | {{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dz </math> | ||
'''Vorgehen''': | '''Vorgehen''': | ||
#Zunächst wird die innere Funktion <math> g(x) </math> dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also <math> z = g(x) </math> | #Zunächst wird die innere Funktion <math> g(x) </math> dieser verknüpften Funktion durch eine Variable <math>z</math> ersetzt. Also <math> z = g(x) </math> | ||
#Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also <math> z = g(x) \Longrightarrow dz = g'(x) dx </math> | #Die Gleichung wird nach <math>x</math> abgeleitet. Also <math> z = g(x) \Longrightarrow dz = g'(x) dx </math> | ||
#und dann nach dx umgeformt: <math> dz = g'(x) dx \Longrightarrow dx = \frac{dz}{g'(x)} </math> | #und dann nach <math> dx </math> umgeformt: <math> dz = g'(x) dx \Longrightarrow dx = \frac{dz}{g'(x)} </math> | ||
#Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung <math> g(x) </math> angepasst werden: <math> a \longrightarrow g(a) </math> neue untere Grenze <math> b \longrightarrow g(b) </math> neue obere Grenze | #Falls im Integral die Grenzen <math>a</math> und <math>b </math> angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung <math> g(x) </math> angepasst werden: <math> a \longrightarrow g(a) </math> neue untere Grenze <math> b \longrightarrow g(b) </math> neue obere Grenze | ||
#Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt. | #Die nach <math>dx</math> umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt. | ||
#Nun folgt das normale Integrationsverfahren. | #Nun folgt das normale Integrationsverfahren. Also: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx = \left[F(z)\right]^{g(b)}_{g(a)} </math> | ||
#Resubstitution | #Die Resubstitution ist nun der letzte Schritt, in dem das Ersetzen der inneren Funktion <math> g(x) </math> durch die Variable <math>z</math> wieder rückgängig gemacht wird. Das heißt: <math> \left[F(z)\right]^{g(b)}_{g(a)} = \left[F(g(x))\right]^{b}_{a} </math> | ||
{{Lösung versteckt|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=sin(2x) </math> | {{Lösung versteckt|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=sin(2x) </math> | ||
Zeile 295: | Zeile 295: | ||
#Anpassung der alten Grenzen <math> a \longrightarrow g(a)</math> bzw. <math> b \longrightarrow g(b) </math>. Das heißt für unsere untere Grenze <math> a=0 </math> gilt <math> g(0)=2 \cdot 0 = 0 </math> und für die obere Grenze <math> b=\frac{1}{2} \pi </math> gilt <math> g(\pi)= 2 \cdot \frac{1}{2} \pi = \pi </math>. | #Anpassung der alten Grenzen <math> a \longrightarrow g(a)</math> bzw. <math> b \longrightarrow g(b) </math>. Das heißt für unsere untere Grenze <math> a=0 </math> gilt <math> g(0)=2 \cdot 0 = 0 </math> und für die obere Grenze <math> b=\frac{1}{2} \pi </math> gilt <math> g(\pi)= 2 \cdot \frac{1}{2} \pi = \pi </math>. | ||
#Einsetzen in das Integral: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} sin(z)\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} sin(z)\, dz </math>. | #Einsetzen in das Integral: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} sin(z)\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} sin(z)\, dz </math>. | ||
#Die Funktion <math> g(x) </math> wird nun für die Variable <math> z </math> ersetzt: <math> \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\pi} sin(z)\, dz = \frac{1}{2} \left[-cos(2x)\right]^{\pi}_{0} | #Die Funktion <math> g(x) </math> wird nun für die Variable <math> z </math> ersetzt: <math> \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\pi} sin(z)\, dz = \frac{1}{2} \left[-cos(2x)\right]^{\pi}_{0}. </math> | ||
#Für die speziellen Grenzen berechnen wir nun die Fläche: <math> \frac{1}{2} \left[-cos(z)\right]^{\pi}_{0} = \frac{1}{2} (-cos(\pi)-(-cos(0)) = \frac{1}{2} (1+1) = 1 </math> | #Für die speziellen Grenzen berechnen wir nun die Fläche: <math> \frac{1}{2} \left[-cos(z)\right]^{\pi}_{0} = \frac{1}{2} (-cos(\pi)-(-cos(0)) = \frac{1}{2} (1+1) = 1 </math> | ||
Zeile 367: | Zeile 367: | ||
{{Lösung versteckt| Zuerst soll die Fläche des Logos berechnet werden | {{Lösung versteckt|Zuerst soll die Fläche des Logos berechnet werden.|Tipp 1|Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt| Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von <math> 1 mm </math> muss auf jeden Fall noch in <math> cm </math> umgerechnet werden.| Tipp | {{Lösung versteckt|Zur Berechnung der Fläche wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>.|Tipp 2|Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt|Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von <math> 1 mm </math> muss auf jeden Fall noch in <math> cm </math> umgerechnet werden.| Tipp 3| Tipp 3}} | |||
{{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{Logo} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{Logo}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{Logo} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen.| Tipp 3| Tipp 3}} | {{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{Logo} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{Logo}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{Logo} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen.| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt| Das fertige Logo aus Silber wiegt <math> 3,36 g </math>. | {{Lösung versteckt|Das fertige Logo aus Silber wiegt <math> 3,36 g </math>. | ||
{{Lösung versteckt|Zunächst wird der Flächeninhalt berechnet: | {{Lösung versteckt|Zunächst wird der Flächeninhalt berechnet: | ||
Version vom 14. Mai 2020, 13:40 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.