Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Partielle Integration |Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. | {{Box|Partielle Integration |Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. | ||
Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:<math> \int f'(x) | Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:<math> \int f'(x) \cdot g(x)\,dx = [f(x) \cdot g(x)] - \int f(x) \cdot g'(x)\,dx </math> | ||
Dabei ist <math> \int f'(x) | Dabei ist <math> \int f'(x) \cdot g(x)\,dx </math> das ursprüngliche Integral. | ||
<math>f'(x)</math> ist die leicht zu integrierende Funktion. | <math>f'(x)</math> ist die leicht zu integrierende Funktion. | ||
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<math> g(x) </math> ist die leicht abzuleitende Funktion. | <math> g(x) </math> ist die leicht abzuleitende Funktion. | ||
{{Lösung versteckt|Die Beispielfunktion lautet: <math>h(x) = e^x | {{Lösung versteckt|Die Beispielfunktion lautet: <math>h(x) = e^x \cdot x</math> | ||
<math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und <math> f'(x)=e^x </math> | <math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und <math> f'(x)=e^x </math> | ||
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<math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math> | <math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math> | ||
Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: <math> \int f'(x) | Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: <math> \int f'(x) \cdot g(x)\,dx = [f(x) \cdot g(x)] - \int f(x) \cdot g'(x)\,dx </math> | ||
<math> \int e^x | <math> \int e^x \cdot x\,dx = [e^x \cdot x] - \int e^x \cdot 1\,dx = [e^x \cdot x] - [e^x] = e^x \cdot (x-1) </math> | ||
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math>h(x) = e^x | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math>h(x) = e^x \cdot x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x \cdot (x-1) </math>| Beispiel anzeigen| Beispiel verbergen}} |}} | ||
==Integration durch Substitution== | ==Integration durch Substitution== | ||
{{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x)) | {{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math> | ||
==== Vorgehen ==== | ==== Vorgehen ==== | ||
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Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx </math> | Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx </math> | ||
#Die innere Funktion ist <math> g(x) = 2x = z </math> | #Die innere Funktion ist <math> g(x) = 2x = z </math> | ||
#Ableitung der Funktion: <math> g'(x)=2 | #Ableitung der Funktion: <math> g'(x)=2 \cdot dx=dz </math> | ||
#Umformen nach dx: <math> 2*dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}</math> | #Umformen nach dx: <math> 2*dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}</math> | ||
#Anpassung der alten Grenzen <math> a \longrightarrow g(a)</math> <math> b \longrightarrow g(b) </math> | #Anpassung der alten Grenzen <math> a \longrightarrow g(a)</math> <math> b \longrightarrow g(b) </math> | ||
#Einsetzen in das Integral: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} | #Einsetzen in das Integral: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} \cdot \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz </math> | ||
#Integration: <math> \frac{1}{2} | #Integration: <math> \frac{1}{2} \cdot \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz = \frac{1}{2} \left[e^z\right]^{g(b)}_{g(a)} </math> | ||
#Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left[e^z\right]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left[e^{2x}\right]^{g(b)}_{g(a)} </math> | #Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left[e^z\right]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left[e^{2x}\right]^{g(b)}_{g(a)} </math> | ||
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{2x} </math>| Beispiel anzeigen| Beispiel verbergen}} |}} | ||
===Aufgaben zur partiellen Integration und Integration durch Substitution=== | ===Aufgaben zur partiellen Integration und Integration durch Substitution=== | ||
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{{Box| Übung 1: Integration von komplexeren Funktionen| Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen?| Üben}} | {{Box| Übung 1: Integration von komplexeren Funktionen| Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen?| Üben}} | ||
a) <math> f(x) = x | a) <math> f(x) = x \cdot sin(2x) </math> | ||
{{Lösung versteckt| Nutze die partielle Integration| Tipp 1| Tipp 1}} | {{Lösung versteckt| Nutze die partielle Integration| Tipp 1| Tipp 1}} | ||
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{{Lösung versteckt| Setze die leicht abzuleitende Funktion <math> g(x)=x </math> und die leicht zu integrierende Funktion <math> f'(x)=sin(2x)</math>| Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt| Setze die leicht abzuleitende Funktion <math> g(x)=x </math> und die leicht zu integrierende Funktion <math> f'(x)=sin(2x)</math>| Tipp 2| Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt| <math> F(x)= \frac{sin(2x)}{4} - \frac{x | {{Lösung versteckt| <math> F(x)= \frac{sin(2x)}{4} - \frac{x \cdot cos(2x)}{2} + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
b) <math> f(x)=x | b) <math> f(x)=x \cdot e^{x^2} </math> | ||
{{Lösung versteckt| Nutze die Integration durch Substitution| Tipp 1| Tipp 1}} | {{Lösung versteckt| Nutze die Integration durch Substitution| Tipp 1| Tipp 1}} | ||
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{{Lösung versteckt| Setze die innerer Funktion <math> g(x)=x^2 = z </math> und leite sie nach x ab| Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt| Setze die innerer Funktion <math> g(x)=x^2 = z </math> und leite sie nach x ab| Tipp 2| Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt| <math> \int x | {{Lösung versteckt| <math> \int x \cdot e^z\, \frac{dz}{2x} = \int \frac{e^z}{2}\, dz = \frac{1}{2} \int e^z\, dz </math>| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt| <math> F(x)= \frac{e^{x^2}}{2} + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt| <math> F(x)= \frac{e^{x^2}}{2} + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
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{{Box| Textaufgabe: Zahn-Logo für eine Praxis| [[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} | {{Box| Textaufgabe: Zahn-Logo für eine Praxis| [[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber (<math> 1 cm^2 </math> Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden?| Üben}} | ||
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{{Lösung versteckt|<math>A_{Logo} = 3,2 cm^2 </math> | {{Lösung versteckt|<math>A_{Logo} = 3,2 cm^2 </math> | ||
<math>V_{Logo}= A_{Logo} | <math>V_{Logo}= A_{Logo} \cdot Dicke_{Logo} = 3,2 {cm}^2 \cdot 0,1 cm = 0,32 {cm}^3 </math> | ||
<math>V_{Logo} | <math>V_{Logo} \cdot Gewicht_{Silber}= 0,32 [{cm}^3] \cdot 10,5 [g] = 3,36 [g] </math> | ||
Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.| Lösungsweg + Lösung anzeigen| Lösungsweg + Lösung ausblenden}} | Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.| Lösungsweg + Lösung anzeigen| Lösungsweg + Lösung ausblenden}} |
Version vom 17. April 2020, 15:27 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Aufgaben zum Berechnen von Mittelwerten
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Aufgaben zur Mittelwertsberechnung und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zur partiellen Integration und Integration durch Substitution
a)
Nutze die partielle Integration
Setze die leicht abzuleitende Funktion und die leicht zu integrierende Funktion
b)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion und leite sie nach x ab
c)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion und leite sie nach x ab
weiterführende Aufgaben: Flächeninhalte von Integralen
Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt:
Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.
Wenn du die Fläche des Logos wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das nun durch das Produkt von und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen
Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.
Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)
Aufgaben
Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern und setze die Funktion sowie die Grenzen und ein.
a) .
b) Für das Intervall gilt dann nach Aufgabenteil a): .
Überlege dir, wie die Formel aussieht, die du zur Berechnung des Inhalts zwischen zwei Funktionen nutzen musst.
Die Formel zur Inhaltsberechnung lautet: , wobei der Schnittpunkt von und ist. Berechne also zunächst den Schnittpunkt.
Der Schnittpunkt von und ist . Setze dies nun als obere Grenze in deine Formel (siehe Tipp 2) ein und berechne die Integrale. Nutze dafür die Substitution sowie dein Wissen über Potenzregeln und Linearität.
1. Schnittpunkt berechnen:
Für uns interessant ist nur der Wert im positiven -Bereich, da die Fläche links von der -Achse laut Aufgabenstellung nicht betrachtet wird.
Setze in oder ein. Dann folgt bspw. für :
2. Integrale berechnen:
Substituiere
Nun muss die Potenzregel angewendet und resubstitutiert werden. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann: