Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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== Einführung: Integral == | ==Einführung: Integral== | ||
{{Box|Was ist ein Integral? |Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummenfolgen bestimmt werden. Dies nennt man das Integral von <math> f </math> über das Intervall <math>[a; b]</math> und schreibt dafür <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math>. | {{Box|Was ist ein Integral? |Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummenfolgen bestimmt werden. Dies nennt man das Integral von <math> f </math> über das Intervall <math>[a; b]</math> und schreibt dafür <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math>. | ||
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=== Aufgaben === | ===Aufgaben=== | ||
{{Box| Übung 1|Welche der folgenden Rechenregeln sind richtig und welche falsch? | {{Box| Übung 1|Welche der folgenden Rechenregeln sind richtig und welche falsch? | ||
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| Üben}} | | Üben}} | ||
== Rechnen mit Integralen == | ==Rechnen mit Integralen== | ||
===Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen=== | ===Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen=== | ||
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<math> f(t)= \frac{5}{4} * t </math>, wobei t in Sekunden und die Funktion f(t) in m/s angegeben wird. | <math> f(t)= \frac{5}{4} * t </math>, wobei t in Sekunden und die Funktion f(t) in m/s angegeben wird. | ||
Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? | Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? | ||
==== Vorgehen zur Bearbeitung der Testaufgabe ==== | |||
#Benutzung der Formel: <math> M= \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx </math> | #Benutzung der Formel: <math> M= \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx </math> | ||
#Einsetzen der Gegebenheiten in die Formel: <math> M= \frac{1}{40-0} \int_{40}^{0} \frac{5}{4} * t \,dt </math> | #Einsetzen der Gegebenheiten in die Formel: <math> M= \frac{1}{40-0} \int_{40}^{0} \frac{5}{4} * t \,dt </math> | ||
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#Antwortsatz formulieren: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto 25 m/s.|}} | #Antwortsatz formulieren: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto 25 m/s.|}} | ||
=== Partielle Integration === | ===Partielle Integration=== | ||
{{Box|Partielle Integration |Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. | {{Box|Partielle Integration |Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. | ||
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Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>|}} | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>|}} | ||
=== Integration durch Substitution === | ===Integration durch Substitution=== | ||
{{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math> | {{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math> | ||
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#Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion <math> g(x) </math> eingesetzt. | #Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion <math> g(x) </math> eingesetzt. | ||
==== Beispiel | ==== Beispiel ==== | ||
Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=e^{2x} </math> | Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=e^{2x} </math> | ||
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Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}} | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}} | ||
=== Aufgaben === | ===Aufgaben=== | ||
{{Box| Übung 1| Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen?| Üben}} | {{Box| Übung 1| Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen?| Üben}} | ||
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== Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*) == | ==Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)== | ||
{{Box|Rotationskörper und Raumintegrale|Lässt man den Graphen einer Funktion um die x-Achse rotieren, so entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Für seinen Rauminhalt gilt <math>V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx</math>. | {{Box|Rotationskörper und Raumintegrale|Lässt man den Graphen einer Funktion um die x-Achse rotieren, so entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Für seinen Rauminhalt gilt <math>V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx</math>. | ||
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Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius <math>r</math>, die durch die Rotation des Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \sqrt{r^2-x^2}</math> im Intervall <math>[-r; r]</math> um die <math>x</math>-Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel: <math>V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2) dx = \left[\pi(r^2\cdot x - \frac{1}{3}x^3)\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi\cdot r^3</math>|}} | Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius <math>r</math>, die durch die Rotation des Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \sqrt{r^2-x^2}</math> im Intervall <math>[-r; r]</math> um die <math>x</math>-Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel: <math>V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2) dx = \left[\pi(r^2\cdot x - \frac{1}{3}x^3)\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi\cdot r^3</math>|}} | ||
=== Aufgaben === | ===Aufgaben=== | ||
{{Box | Übungsaufgabe 1: Rotationskörper und Raumintegrale |Gegeben sei die Funktion <math> f </math> mit <math>f(x) = \frac{7}{1+x}, x \in\mathbb{R}_+</math>. Die Fläche von f rotiere um die <math>x</math>-Achse. | {{Box | Übungsaufgabe 1: Rotationskörper und Raumintegrale |Gegeben sei die Funktion <math> f </math> mit <math>f(x) = \frac{7}{1+x}, x \in\mathbb{R}_+</math>. Die Fläche von f rotiere um die <math>x</math>-Achse. |
Version vom 15. April 2020, 18:27 Uhr
Einführung: Integral
Aufgaben
Rechnen mit Integralen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben
a)
Nutze die partielle Integration
Setze die leicht abzuleitende Funktion und die leicht zu integrierende Funktion
b)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion und leite sie nach x ab
c)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion und leite sie nach x ab
Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt:
Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.
Wenn du die Fläche des Logos wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das nun durch das Produkt von und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen
Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.
Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)
Aufgaben
Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern und setze die Funktion sowie die Grenzen und ein.
a) .
b) Für das Intervall gilt dann nach Aufgabenteil a): .
Überlege dir, wie die Formel aussieht, die du zur Berechnung des Inhalts zwischen zwei Funktionen nutzen musst.
Die Formel zur Inhaltsberechnung lautet: , wobei der Schnittpunkt von und ist. Berechne also zunächst den Schnittpunkt.
Der Schnittpunkt von und ist . Setze dies nun als obere Grenze in deine Formel (siehe Tipp 2) ein und berechne die Integrale. Nutze dafür die Substitution sowie dein Wissen über Potenzregeln und Linearität.
1. Schnittpunkt berechnen:
Für uns interessant ist nur der Wert im positiven -Bereich, da die Fläche links von der -Achse laut Aufgabenstellung nicht betrachtet wird.
Setze in oder ein. Dann folgt bspw. für :
2. Integrale berechnen:
Substituiere
Nun muss die Potenzregel angewendet und resubstitutiert werden. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann: