Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math> | {{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math> | ||
'''Vorgehen:''' | ===== '''Vorgehen:''' ===== | ||
#Zunächst wird die innere Funktion <math> g(x) </math> dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also <math> z = g(x) </math> | #Zunächst wird die innere Funktion <math> g(x) </math> dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also <math> z = g(x) </math> | ||
#Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also <math> z = g(x) \Longrightarrow dz = g'(x) dx </math> | #Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also <math> z = g(x) \Longrightarrow dz = g'(x) dx </math> | ||
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#Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt. | #Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt. | ||
#Nun folgt das normale Integrationsverfahren. | #Nun folgt das normale Integrationsverfahren. | ||
#Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion <math> g(x) </math> eingesetzt. | #Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion <math> g(x) </math> eingesetzt. | ||
===== Beispiel zur Integration durch Substitution ===== | |||
Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=e^{2x} </math> | |||
Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx </math> | Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx </math> | ||
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Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}} | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}} | ||
===== Aufgaben ===== | |||
{{Box| Übung 1| Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen?| Üben}} | |||
a) <math> f(x) = x*sin(2x) </math> | |||
{{Lösung versteckt| Nutze die partielle Integration| Tipp 1| Tipp 1}} | |||
{{Lösung versteckt| Setze die leicht abzuleitende Funktion <math> g(x)=x </math> und die leicht zu integrierende Funktion <math> f'(x)=sin(2x)</math>| Tipp 2| Tipp 2}} | |||
{{Lösung versteckt| <math> F(x)= \frac{sin(2x)}{4} - \frac{x*cos(2x)}{2} + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |||
b) <math> f(x)=x*e^{x^2} </math> | |||
{{Lösung versteckt| Nutze die Integration durch Substitution| Tipp 1| Tipp 1}} | |||
{{Lösung versteckt| Setze die innerer Funktion <math> g(x)=x^2 = z </math> und leite sie nach x ab| Tipp 2| Tipp 2}} | |||
{{Lösung versteckt| <math> \int x*e^z\, \frac{dz}{2x} = \int \frac{e^z}{2}\, dz = \frac{1}{2} \int e^z\, dz </math>| Tipp 3| Tipp 3}} | |||
{{Lösung versteckt| <math> F(x)= \frac{e^{x^2}}{2} + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |||
c) <math> f(x)= \frac{e^x}{a-e^x} </math> | |||
{{Lösung versteckt| Nutze die Integration durch Substitution| Tipp 1| Tipp 1}} | |||
{{Lösung versteckt| Setze die innerer Funktion <math> g(x)= a-e^x = z </math> und leite sie nach x ab| Tipp 2| Tipp 2}} | |||
{{Lösung versteckt| <math> F(x)= - ln(|a-e^x|) + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |||
{{LearningApp|width:80%|height:300px|app=p0v4crp2j20}} | |||
{{Box| Textaufgabe: Zahn-Logo für eine Praxis| [[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} * x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber (<math> 1 cm^2 </math> Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden?| Üben}} | |||
{{Lösung versteckt| Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>|Tipp 1|Tipp 1}} | |||
{{Lösung versteckt| Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.| Tipp 2| Tipp 2}} | |||
{{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{Logo} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{Logo}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{Logo} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen| Tipp 3| Tipp 3}} | |||
{{Lösung versteckt|<math>A_{Logo} = 3,2 cm^2 </math> | |||
<math>V_{Logo}= A_{Logo} * Dicke_{Logo} = 3,2 {cm}^2 * 0,1 cm = 0,32 {cm}^3 </math> | |||
<math>V_{Logo}*Gewicht_{Silber}= 0,32 [{cm}^3] * 10,5 [g] = 3,36 [g] </math> | |||
Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.| Lösungsweg + Lösung anzeigen| Lösungsweg + Lösung ausblenden}} | |||
===Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)=== | ===Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)=== | ||
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| Lösungsweg + Lösung anzeigen| Lösungsweg + Lösung ausblenden}} | | Lösungsweg + Lösung anzeigen| Lösungsweg + Lösung ausblenden}} | ||
Version vom 15. April 2020, 18:09 Uhr
Informationen
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben
a)
Nutze die partielle Integration
Setze die leicht abzuleitende Funktion und die leicht zu integrierende Funktion
b)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion und leite sie nach x ab
c)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion und leite sie nach x ab
Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt:
Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.
Wenn du die Fläche des Logos wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das nun durch das Produkt von und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen
Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.
Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)
Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern und setze die Funktion sowie die Grenzen und ein.
a) .
b) Für das Intervall gilt dann nach Aufgabenteil a): .
Überlege dir, wie die Formel aussieht, die du zur Berechnung des Inhalts zwischen zwei Funktionen nutzen musst.
Die Formel zur Inhaltsberechnung lautet: , wobei der Schnittpunkt von und ist. Berechne also zunächst den Schnittpunkt.
Der Schnittpunkt von und ist . Setze dies nun als obere Grenze in deine Formel (siehe Tipp 2) ein und berechne die Integrale. Nutze dafür die Substitution sowie dein Wissen über Potenzregeln und Linearität.
1. Schnittpunkt berechnen:
Für uns interessant ist nur der Wert im positiven -Bereich, da die Fläche links von der -Achse laut Aufgabenstellung nicht betrachtet wird.
Setze in oder ein. Dann folgt bspw. für :
2. Integrale berechnen:
Substituiere
Nun muss die Potenzregel angewendet und resubstitutiert werden. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann: