Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Informationen== | ==Informationen== | ||
=== Einführung: Integral === | ===Einführung: Integral=== | ||
{{Box|Was ist ein Integral? |Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummenfolgen bestimmt werden. Dies nennt man das Integral von <math> f </math> über das Intervall <math>[a; b]</math> und schreibt dafür <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math>. | {{Box|Was ist ein Integral? |Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummenfolgen bestimmt werden. Dies nennt man das Integral von <math> f </math> über das Intervall <math>[a; b]</math> und schreibt dafür <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math>. | ||
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Eine Funktion <math>F</math> heißt Stammfunktion zur Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>F'(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in (a; b)</math>. |}} | Eine Funktion <math>F</math> heißt Stammfunktion zur Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>F'(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in (a; b)</math>. |}} | ||
=== Rechnen mit Integralen === | ===Rechnen mit Integralen=== | ||
==== Partielle Integration ==== | ====Partielle Integration==== | ||
{{Box|Partielle Integration |Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. | {{Box|Partielle Integration |Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. | ||
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Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>|}} | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>|}} | ||
==== Integration durch Substitution ==== | ====Integration durch Substitution==== | ||
{{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math> | {{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math> | ||
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{{Box| Textaufgabe: Zahn-Logo für eine Praxis| In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} * x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber (<math> 1 cm^2 </math> Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden?[[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]| Üben}} | |||
{{Lösung versteckt| Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>|Tipp 1|Tipp 1}} | {{Lösung versteckt| Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>|Tipp 1|Tipp 1}} | ||
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Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.| Lösungsweg + Lösung anzeigen| Lösungsweg + Lösung ausblenden}} | Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.| Lösungsweg + Lösung anzeigen| Lösungsweg + Lösung ausblenden}} | ||
Version vom 15. April 2020, 07:00 Uhr
Informationen
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Partielle Integration
Falls du eine ausführliche Erklärung mit einem Beispiel benötigst,klicke hier.
Integration durch Substitution
Aufgaben
a)
Nutze die partielle Integration
Setze die leicht abzuleitende Funktion und die leicht zu integrierende Funktion
b)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion und leite sie nach x ab
c)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion und leite sie nach x ab
Weblink: https://learningapps.org/display?v=p0v4crp2j20
Vollbild-Link: https://learningapps.org/watch?v=p0v4crp2j20
Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt:
Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.
Wenn du die Fläche des Logos wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das nun durch das Produkt von und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen
Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.