Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Einführung: Integral== | ==Einführung: Integral== | ||
{{Box|Was ist ein Integral? |Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummenfolgen bestimmt werden. Dies nennt man das Integral von <math> f </math> über das Intervall <math>[a; b]</math> und schreibt dafür <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math>. | {{Box|Was ist ein Integral? |Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummenfolgen bestimmt werden. Dies nennt man das '''Integral''' von <math> f </math> über das Intervall <math>[a; b]</math> und schreibt dafür <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math>. | ||
Die Funktion <math>f</math> heißt dann über <math>[a; b]</math> integrierbar. Dabei ist <math>a</math> die untere und <math>b</math> die obere Integrationsgrenze und <math>f</math> die Integrandfunktion. | Die Funktion <math>f</math> heißt dann über <math>[a; b]</math> integrierbar. Dabei ist <math>a</math> die untere und <math>b</math> die obere '''Integrationsgrenze''' und <math>f</math> die '''Rand'''- oder auch '''Integrandfunktion'''. | ||
Betrachtet man die Werte von Integralen in Abhängigkeit von einer festen unteren Grenze <math> a</math> und einer variablen (anstelle einer festen) oberen Grenze <math>x</math> und verwendet deshalb <math>t</math> als Variable der Integrandfunktion <math>f</math>, so erhält man eine Integralfunktion <math> F_a(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt, x\in [a; b].</math> | Betrachtet man die Werte von Integralen in Abhängigkeit von einer festen unteren Grenze <math> a</math> und einer variablen (anstelle einer festen) oberen Grenze <math>x</math> und verwendet deshalb <math>t</math> als Variable der Integrandfunktion <math>f</math>, so erhält man eine '''Integralfunktion''' <math> F_a(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt, x\in [a; b].</math> | ||
<math>F_a </math> ist also eine Funktion, die jedem <math>x \in [a; b]</math> das Integral von <math>f</math> über <math>[a; x]</math> zuordnet. <math>x</math> ist dabei die Funktionsvariable, in sie darf eingesetzt werden, während <math>t</math> eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf. | <math>F_a </math> ist also eine Funktion, die jedem <math>x \in [a; b]</math> das Integral von <math>f</math> über <math>[a; x]</math> zuordnet. <math>x</math> ist dabei die Funktionsvariable, in sie darf eingesetzt werden, während <math>t</math> eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf. | ||
Eine Funktion <math>F</math> heißt Stammfunktion zur Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>F'(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in (a; b)</math>. |}} | Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion''' zur Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>F'(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in (a; b)</math>. |}} | ||
Version vom 18. April 2020, 08:21 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Aufgaben zum Berechnen von Mittelwerten
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Aufgaben zur Mittelwertsberechnung und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zur partiellen Integration und Integration durch Substitution
weiterführende Aufgaben: Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.
Aufgaben