Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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|Merksatz}} | |Merksatz}} | ||
== | ==Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen== | ||
{{Box| | {{Box|Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besteht aus zwei Teilen. | ||
'''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | '''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | ||
Die Funktion <math>F(x) = \int f(x) \, \mathrm{d}x</math> ist <u>eine</u> Stammfunktion von <math>f(x)</math>. Es gilt <math>F'(x) = f(x)</math>. | |||
<math>\ | |||
'''Der zweite Teil des Hauptsatzes''' | |||
<math> | |||
Dieser Teil beschäftigt sich mit der Frage: "Wie berechnet man bestimmte Integrale wie <math>\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x</math>?" | |||
Wenn <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, dann gilt <math>\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>. Für <math>F(b) - F(a)</math> schreibt man auch kurz <math>\Big[ F(x) \Big]_a^b</math>. | |||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Für die Funktion <math>h(x) = x^3 - 6 x^2 + \frac{47}{4} x - \frac{11}{2}</math> soll das bestimmte Integral über dem Intervall <math>[1, 3]</math> berechnet werden, also: <math>\int_1^3 h(x) \, \mathrm{d}x</math>. | |||
1. Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also eine Stammfunktion <math>H(x)</math>: | |||
<math>\begin{align} | |||
H(x) &= \int x^3 - 6 x^2 + \frac{47}{4} x - \frac{11}{2}\\ | |||
&= \frac{1}{4} x^4 - 2 x^3 + \frac{47}{8} x^2 - \frac{11}{2} x | |||
\end{align}</math> | |||
2. Schritt: Berechne <math>H(a)</math> und <math>H(b)</math> durch Einsetzen der unteren und oberen Intervallgrenzen in <math>H(x)</math>: | |||
<math> H(x) | |||
<math>\begin{align} | |||
H(1) &= \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 + \frac{47}{8} \cdot 1^2 - \frac{11}{2} \cdot 1\\ | |||
&= - \frac{11}{8} | |||
\end{align}</math> | |||
und | |||
<math>\begin{align} | |||
H(3) &= \frac{1}{4} \cdot 3^4 - 2 \cdot 3^3 + \frac{47}{8} \cdot 3^2 - \frac{11}{2} \cdot 3\\ | |||
&= \frac{21}{8} | |||
\end{align}</math> | |||
3. Schritt: Bilde die Differenz <math>H(b) - H(a)</math>: | |||
<math>H(3) - H(1) = \frac{21}{8} - (- \frac{11}{8}) = 4</math>| Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}}|Merksatz}} | |||
==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ||
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<math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math>. | <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math>. | ||
Da solche Formeln sehr theoretisch sind, haben wir dir zur Formel des Mittelwertes eine Skizze gemacht. | Da solche Formeln sehr theoretisch sind, haben wir dir zur Formel des Mittelwertes eine Skizze gemacht. | ||
[[Datei:Formel | [[Datei:Formel Mittelwert.jpg|mini|480x480xp|Formel zur Bestimmung des Mittelwertes einer Funktion]] | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
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#Schreibe dir die allgemeine Formel erstmal auf: <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | #Schreibe dir die allgemeine Formel erstmal auf: <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | ||
#Setze alle Variablen, die du aus der Aufgabe hast ein: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{0}^{40} \frac{5}{4} \cdot t \,dt </math> | #Setze alle Variablen, die du aus der Aufgabe hast ein: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{0}^{40} \frac{5}{4} \cdot t \,dt </math> | ||
#Berechne den Mittelwert: | #Berechne den Mittelwert:<br><math>\begin{align} | ||
<math>\begin{align} | |||
M &= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{0}^{40} \frac{5}{4} \cdot t \,dt\\ | M &= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{0}^{40} \frac{5}{4} \cdot t \,dt\\ | ||
&= \frac{1}{40} \cdot \Big[ \frac{5}{8} \cdot t^2 \Big]_{0}^{40}\\ | &= \frac{1}{40} \cdot \Big[ \frac{5}{8} \cdot t^2 \Big]_{0}^{40}\\ | ||
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{{Lösung versteckt|Überlege, was du aus der vorherigen Aufgabe brauchen könntest.| Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Überlege, was du aus der vorherigen Aufgabe brauchen könntest.| Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt|In Teilaufgabe a) haben wir schon das bestimmte Integral ausgerechnet. Dies können wir für die Berechnung des Mittelwertes nutzen und den Wert in die Formel einsetzen. | ||
<math> M = \frac{1}{3 - (-1)} \cdot \frac{25}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{25}{3} = \frac{25}{12} \approx 2{,}08 </math> | <math>M = \frac{1}{3 - (-1)} \cdot \frac{25}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{25}{3} = \frac{25}{12} \approx 2{,}08</math> | ||
Antwortsatz: Der Mittelwert der Funktion <math>h</math> auf dem Intervall <math>[-1, 3]</math> ist circa <math>2{,}08</math>. Damit du dir besser vorstellen kannst, was dieser Wert nun anzeigt, haben wir den Mittelwert in das Schaubild eingezeichnet. | Antwortsatz: Der Mittelwert der Funktion <math>h</math> auf dem Intervall <math>[-1, 3]</math> ist circa <math>2{,}08</math>. Damit du dir besser vorstellen kannst, was dieser Wert nun anzeigt, haben wir den Mittelwert in das Schaubild eingezeichnet. | ||
[[Datei:Mittelwert der Funktion h(x) | [[Datei:Mittelwert der Funktion h(x)2.jpg|ohne|mini|Mittelwert der Funktion <math>h(x)</math>]]|Lösung anzeigen | Lösungsweg verbergen}}|Arbeitsmethode }} | ||
{{Box|Aufgabe 5: Das Kirchenfenster|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | {{Box|Aufgabe 5: Das Kirchenfenster|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' |
Aktuelle Version vom 17. Juni 2020, 20:57 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)