Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|1=Allgemeine Info|2= | {{Box|1=Allgemeine Info|2= | ||
Zuerst erklären wir Dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst Du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Zu jedem Kapitel wurden Aufgaben beigefügt, die Dir dabei helfen das Wissen besser zu verstehen und zu vertiefen. | Zuerst erklären wir Dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst Du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Zu jedem Kapitel wurden Aufgaben beigefügt, die Dir dabei helfen das Wissen besser zu verstehen und zu vertiefen. | ||
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen: | |||
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen. | |||
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''. | |||
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. | |||
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht. | |||
Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht. | |||
Viel Erfolg | Viel Erfolg! | ||
|3=Kurzinfo}} | |||
==Einführung: Integral== | ==Einführung: Integral== | ||
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==Rechnen mit Integralen== | ==Rechnen mit Integralen== | ||
{{Box| Aufgabe 1: Rechenregeln | {{Box| Aufgabe 1: Rechenregeln |Entscheide jeweils, ob die graphisch dargestellte Gleichung gilt und wenn ja, welche Rechenregel zutrifft. | ||
Du benötigst Hilfe? Dann siehe dir die Rechenregeln in der nächsten Box an. | |||
{ | {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=12829676}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}} | |||
{ | |||
{ | {{Box| Rechenregeln |'''Hier findest du einige, wichtige Regeln zum Rechnen mit Integralen. ''' | ||
1. Additivität des Integrals: | |||
<math>\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx</math> | |||
2. Regel vom konstanten Faktor: | |||
<math>\int_{a}^{b} c\cdot f(x) dx = c\cdot \int_{a}^{b} f(x) dx </math> | |||
3. Summenregel: | |||
<math>\int_{a}^{b} ( f(x) + g(x) ) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx</math> | |||
4. Differenzregel: | |||
<math>\int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) ) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{a}^{b} g(x) dx</math> | |||
Weitere wichtige Regeln: | |||
5. <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx </math> | |||
6. <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math> ≤ <math> \int_{a}^{b} g(x) dx</math>, wenn <math>f(x) </math> ≤ <math> g(x)</math> für alle <math>x\in [a, b]</math> | |||
7. <math>|\int_{a}^{b} f(x) dx| </math> ≤ <math> \int_{a}^{b} |f(x)| dx</math> | |||
8. <math>\int_{a}^{a} f(x) dx = 0</math> | |||
|Merksatz}} | |||
{ | ==Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen== | ||
- | {{Box|Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besteht aus zwei Teilen. | ||
'''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | |||
Die Funktion <math>F(x) = \int f(x) \, \mathrm{d}x</math> ist <u>eine</u> Stammfunktion von <math>f(x)</math>. Es gilt <math>F'(x) = f(x)</math>. | |||
'''Der zweite Teil des Hauptsatzes''' | |||
Dieser Teil beschäftigt sich mit der Frage: "Wie berechnet man bestimmte Integrale wie <math>\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x</math>?" | |||
Wenn <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, dann gilt <math>\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>. Für <math>F(b) - F(a)</math> schreibt man auch kurz <math>\Big[ F(x) \Big]_a^b</math>. | |||
< | {{Lösung versteckt| | ||
Für die Funktion <math>h(x) = x^3 - 6 x^2 + \frac{47}{4} x - \frac{11}{2}</math> soll das bestimmte Integral über dem Intervall <math>[1, 3]</math> berechnet werden, also: <math>\int_1^3 h(x) \, \mathrm{d}x</math>. | |||
1. Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also eine Stammfunktion <math>H(x)</math>: | |||
<math>\begin{align} | |||
H(x) &= \int x^3 - 6 x^2 + \frac{47}{4} x - \frac{11}{2}\\ | |||
&= \frac{1}{4} x^4 - 2 x^3 + \frac{47}{8} x^2 - \frac{11}{2} x | |||
\end{align}</math> | |||
2. Schritt: Berechne <math>H(a)</math> und <math>H(b)</math> durch Einsetzen der unteren und oberen Intervallgrenzen in <math>H(x)</math>: | |||
<math> | |||
<math> H(x) | |||
<math>\begin{align} | |||
H(1) &= \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 + \frac{47}{8} \cdot 1^2 - \frac{11}{2} \cdot 1\\ | |||
&= - \frac{11}{8} | |||
\end{align}</math> | |||
und | |||
<math>\begin{align} | |||
H(3) &= \frac{1}{4} \cdot 3^4 - 2 \cdot 3^3 + \frac{47}{8} \cdot 3^2 - \frac{11}{2} \cdot 3\\ | |||
&= \frac{21}{8} | |||
\end{align}</math> | |||
3. Schritt: Bilde die Differenz <math>H(b) - H(a)</math>: | |||
3. Schritt: Bilde die Differenz <math>H(b)- H(a)</math>: | |||
<math>H(3) - H(1) = \frac{21}{8} - (- \frac{11}{8}) = 4</math>| Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}}|Merksatz}} | |||
==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ||
{{Box| Mittelwert |Mit einem Integral, zu einer Funktion <math>k</math>, kannst du den Mittelwert der Funktion <math> k </math> bestimmen. | {{Box| Mittelwert |Mit einem Integral, zu einer Funktion <math>k</math>, kannst du den Mittelwert der Funktion <math> k </math> auf diesem Intervall bestimmen. Bei der Berechnung verwendest du den Wert des bestimmten Integrals und dessen Breite. | ||
Hierzu benötigst du folgende Formel: | Hierzu benötigst du folgende Formel: | ||
<math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math>. | <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math>. | ||
Da solche Formeln sehr theoretisch sind, haben wir dir zur Formel des Mittelwertes eine Skizze gemacht. | Da solche Formeln sehr theoretisch sind, haben wir dir zur Formel des Mittelwertes eine Skizze gemacht. | ||
[[Datei:Formel | [[Datei:Formel Mittelwert.jpg|mini|480x480xp|Formel zur Bestimmung des Mittelwertes einer Funktion]] | ||
Zeile 223: | Zeile 118: | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Ein Auto beschleunigt 40 Sekunden lang. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t</math> ist gegeben durch | Ein Auto beschleunigt 40 Sekunden lang. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t</math> ist gegeben durch | ||
<math> f(t)= \frac{5}{4} \cdot t </math>, wobei <math>t</math> in Sekunden und | <math> f(t)= \frac{5}{4} \cdot t </math>, wobei <math>t</math> in Sekunden und <math>f(t)</math> in <math>\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}</math> angegeben wird. | ||
Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? | Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? | ||
Zeile 229: | Zeile 124: | ||
#Schreibe dir die allgemeine Formel erstmal auf: <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | #Schreibe dir die allgemeine Formel erstmal auf: <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | ||
#Setze alle Variablen, die du aus der Aufgabe hast ein: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{ | #Setze alle Variablen, die du aus der Aufgabe hast ein: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{0}^{40} \frac{5}{4} \cdot t \,dt </math> | ||
#Berechne den Mittelwert: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{ | #Berechne den Mittelwert:<br><math>\begin{align} | ||
#Formuliere den Antwortsatz: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto <math> 25 m | M &= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{0}^{40} \frac{5}{4} \cdot t \,dt\\ | ||
&= \frac{1}{40} \cdot \Big[ \frac{5}{8} \cdot t^2 \Big]_{0}^{40}\\ | |||
&= \frac{1}{40} \cdot \Big[ \frac{5}{8} \cdot 40^2 - \frac{5}{8} \cdot 0^2 \Big]\\ | |||
&= \frac{1}{40} \cdot 1000\\ | |||
&= 25 | |||
\end{align}</math> | |||
#Formuliere den Antwortsatz: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto <math>25 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}</math>.| Beispielaufgabe anzeigen | Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | |||
{{Box|Aufgabe 2: Der Goldpreis|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | {{Box|Aufgabe 2: Der Goldpreis|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | ||
Herr Meier überlegt sein Geld in Gold anzulegen. Um eine Entscheidung zu fällen, beobachtet er zunächst den Goldpreis und stellt fest, dass dieser in den ersten 4 Tagen durch die Funktion <math> f(x)= 2 \cdot x^3 - 12 \cdot x^2 + 20 \cdot x + 30 </math> beschrieben werden kann. Dabei ist <math>x</math> in Tagen und <math>f(x)</math> in <math>\frac{\text{Euro}}{\text{g}}</math> (Preis in Euro pro Gramm) angegeben. | |||
Berechne den Durchschnittspreis in den ersten 4 Tagen. | Berechne den Durchschnittspreis in den ersten 4 Tagen. | ||
[[Datei:Zwei Goldbarren.JPG|mini|Goldbarren]] | [[Datei:Zwei Goldbarren.JPG|ohne|mini|Goldbarren]] | ||
{{Lösung versteckt| Welche Formel brauchst du? | Tipp 1| Tipp }} | {{Lösung versteckt| Welche Formel brauchst du? | Tipp 1| Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt| Welche Informationen hast du vom Text bekommen? | Tipp 2| Tipp }} | {{Lösung versteckt| Welche Informationen hast du vom Text bekommen? | Tipp 2| Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|Du brauchst um die Aufgabe zu berechnen zunächst einmal den Mittelwert. Aus der Aufgabe kannst du entnehmen, dass du in die Formel folgende Zahlen einsetzen musst: <math>a = 0</math>(Anfangswert), <math>b = 4</math>. | |||
{{Lösung versteckt|Du brauchst um die Aufgabe zu berechnen zunächst einmal den Mittelwert. Aus der Aufgabe kannst du entnehmen, dass du in die Formel folgende Zahlen einsetzen musst: <math> a= 0</math>(Anfangswert), <math> b= 4</math>. | |||
So könntest du die Aufgabe berechnen: | So könntest du die Aufgabe berechnen: | ||
<math> M = \frac{ | <math>\begin{align} | ||
= \frac{1}{4} \cdot | M &= \frac{1}{4-0} \cdot \int_{0}^{4} 2 \cdot x^3 - 12 \cdot x^2 + 20 \cdot x + 30 \, dx\\ | ||
&= \frac{1}{4} \cdot \Big[ \frac{1}{2} \cdot x^4 - 4 \cdot x^3 + 10 \cdot x^2 + 30 \cdot x \Big]_{0}^{4}\\ | |||
&= \frac{1}{4} \cdot \Big[ \frac{1}{2} \cdot 4^4 - 4 \cdot 4^3 + 10 \cdot 4^2 + 30 \cdot 4 \Big]\\ | |||
&= \frac{1}{4} \cdot \Big[ 152 - 0 \Big] = 38 | |||
\end{align}</math> | |||
Antwortsatz: | Antwortsatz: In den ersten vier Tagen beträgt der Durchschnittspreis <math> 38 \frac{\text{Euro}}{\text{g}}</math>. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
{{Box|Aufgabe 3: Bakterien |'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | {{Box|Aufgabe 3: Bakterien |'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | ||
Zeile 275: | Zeile 178: | ||
{{Lösung versteckt|Welche der Formeln, die du kennengelernt hast, brauchst du? | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Welche der Formeln, die du kennengelernt hast, brauchst du? | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|Da wir den Durchschnittswert der Funktion in den ersten 8 Tagen brauchen, nehmen wir die Formel zur Bestimmung des Mittelwertes:<math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | {{Lösung versteckt|Da wir den Durchschnittswert der Funktion in den ersten 8 Tagen brauchen, nehmen wir die Formel zur Bestimmung des Mittelwertes: <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | ||
<math> M = \frac{1}{8 - 0} \cdot \int_{ | <math>\begin{align} | ||
M &= \frac{1}{8 - 0} \cdot \int_{0}^{8} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx\\ | |||
&= \frac{1}{8} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 8^5 + 10 \cdot 8^4 - \frac{500}{3} \cdot 8^3 + 1000 \cdot 8^2 + 8 - 0)\\ | |||
&= 1635{,}13 | |||
\end{align}</math> | |||
Antwortsatz: Im Durchschnitt gibt es ungefähr 1635 Bakterien. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Antwortsatz: Im Durchschnitt gibt es ungefähr 1635 Bakterien. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
Zeile 285: | Zeile 192: | ||
{{Lösung versteckt|Überlege, wie sich c) und b) unterscheiden. | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Überlege, wie sich c) und b) unterscheiden. | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|Der Unterschied zwischen c) und b) liegt darin, dass sich das Intervall verändert. Wir haben jetzt das Intervall <math>[ | {{Lösung versteckt|Der Unterschied zwischen c) und b) liegt darin, dass sich das Intervall verändert. Wir haben jetzt das Intervall <math>[2, 4]</math> haben. | ||
Nun können wir die Formel, wie folgt, berechnen: | Nun können wir die Formel, wie folgt, berechnen: | ||
<math>M = \frac{1}{4 - 2} \int_{ | <math>\begin{align} | ||
M &= \frac{1}{4 - 2} \int_{2}^{4} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx\\ | |||
&= \frac{1}{2} \cdot \Big[ - \frac{1}{5} \cdot 4^5 + 10 \cdot 4^4 - \frac{500}{3} \cdot 4^3 + 1000 \cdot 4^2 + 4 - ( - \frac{1}{5} \cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 - \frac{500}{3} \cdot 2^3 + 1000 \cdot 2^2 + 2 ) \Big]\\ | |||
&\approx 2435{,}13 | |||
\end{align}</math> | |||
Antwortsatz: Zwischen dem 2. und 4. Tag werden durchschnittlich ungefähr 2435 Bakterien gezüchtet. | Antwortsatz: Zwischen dem 2. und 4. Tag werden durchschnittlich ungefähr 2435 Bakterien gezüchtet. | ||
Zeile 296: | Zeile 207: | ||
{{Box|Aufgabe 4: Integrieren mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | {{Box|Aufgabe 4: Integrieren mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | ||
Die Abbildung zeigt | Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion <math>h</math> mit <math> h(x) = \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 </math> | ||
[[Datei:Schaubild der Funktion h(x).jpg|mini|240px|rechts| Schaubild der Funktion <math>h(x)</math>]] | [[Datei:Schaubild der Funktion h(x).jpg|mini|240px|rechts| Schaubild der Funktion <math>h(x)</math>]] | ||
Zeile 303: | Zeile 214: | ||
{{Lösung versteckt|Wie lautet die Stammfunktion?| Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Wie lautet die Stammfunktion?| Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|Die Stammfunktion <math>H(x)</math> können wir so berechnen: <math>H(x) = \ | {{Lösung versteckt|Die Stammfunktion <math>H(x)</math> können wir so berechnen: <math>H(x) = \int h(x) dx = \int \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1\,dx =\frac{3x^4}{16} - \frac{2x^3}{3} + x^2 + x + C </math>. | ||
Nun musst du nur noch die Intervallgrenzen hinzufügen: | Nun musst du nur noch die Intervallgrenzen hinzufügen: | ||
<math>\int_{-1}^{3} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = 4\frac{1}{8} - \frac{19}{24} = \frac{25}{3} </math> | <math>\int_{-1}^{3} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = 4\frac{1}{8} - \frac{19}{24} = \frac{25}{3} </math> | ||
Antwortsatz: Der Wert des Integrals lautet <math>\frac{25}{3} </math>. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Antwortsatz: Der Wert des Integrals lautet <math>\frac{25}{3}</math>. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
Zeile 314: | Zeile 225: | ||
{{Lösung versteckt|Überlege, was du aus der vorherigen Aufgabe brauchen könntest.| Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Überlege, was du aus der vorherigen Aufgabe brauchen könntest.| Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt|In Teilaufgabe a) haben wir schon das bestimmte Integral ausgerechnet. Dies können wir für die Berechnung des Mittelwertes nutzen und den Wert in die Formel einsetzen. | ||
<math> M =\frac{1}{3 | <math>M = \frac{1}{3 - (-1)} \cdot \frac{25}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{25}{3} = \frac{25}{12} \approx 2{,}08</math> | ||
Antwortsatz: Der Mittelwert der Funktion <math> h</math> | |||
[[Datei:Mittelwert der Funktion h(x).jpg|mini|Mittelwert der Funktion <math>h(x)</math>]] | | Antwortsatz: Der Mittelwert der Funktion <math>h</math> auf dem Intervall <math>[-1, 3]</math> ist circa <math>2{,}08</math>. Damit du dir besser vorstellen kannst, was dieser Wert nun anzeigt, haben wir den Mittelwert in das Schaubild eingezeichnet. | ||
[[Datei:Mittelwert der Funktion h(x)2.jpg|ohne|mini|Mittelwert der Funktion <math>h(x)</math>]]|Lösung anzeigen | Lösungsweg verbergen}}|Arbeitsmethode }} | |||
{{Box|Aufgabe 5: Das Kirchenfenster|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | {{Box|Aufgabe 5: Das Kirchenfenster|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | ||
Zeile 329: | Zeile 241: | ||
<math>\int_{7}^{3} - x^2 + 10 \cdot x - 17 \,dx = \left[ - \frac{7^3}{3} + 5 \cdot 7^2 - 17 \cdot 7 \right]- \left[ - \frac{3^3}{3} + 5 \cdot 3^2 - 17 \cdot 3 \right]= \frac{80}{3} </math> | <math>\int_{7}^{3} - x^2 + 10 \cdot x - 17 \,dx = \left[ - \frac{7^3}{3} + 5 \cdot 7^2 - 17 \cdot 7 \right]- \left[ - \frac{3^3}{3} + 5 \cdot 3^2 - 17 \cdot 3 \right]= \frac{80}{3} </math> | ||
Antwortsatz: Für das Kirchenfenster wurden ungefähr <math> 26,67 m^2 </math> Glas benötigt. |Lösung anzeigen |Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | Antwortsatz: Für das Kirchenfenster wurden ungefähr <math> 26{,}67 m^2 </math> Glas benötigt. |Lösung anzeigen |Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
==Partielle Integration== | ==Partielle Integration== | ||
Zeile 385: | Zeile 297: | ||
==Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren== | ==Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren== | ||
{{Box|Aufgabe 6: Integration von komplexeren Funktionen| | {{Box|Aufgabe 6: Integration von komplexeren Funktionen|Bestimme jeweils die Stammfunktion der Funktion und falls angegeben den Wert des bestimmten Intervalls. Hierfür benötigt ihr einen Zettel und einen Stift, um die Funktion schriftlich zu integrieren. | ||
a) <math> f(x) = x \cdot sin(x) </math> | a) <math> f(x) = x \cdot sin(x) </math> | ||
{{Lösung versteckt| Welche der drei eingeführten Integrationsverfahren passt den am besten zu einem Produkt von zwei Funktionen?| Tipp 1| Tipp 1}} | {{Lösung versteckt|Welche der drei eingeführten Integrationsverfahren passt den am besten zu einem Produkt von zwei Funktionen?| Tipp 1| Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt|Wenn du die partielle Integration verwendest, setze die leicht abzuleitende Funktion <math> g(x)=x </math> und die leicht zu integrierende Funktion <math> f'(x)=sin(x)</math>.| Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|Wenn du die partielle Integration verwendest, setze die leicht abzuleitende Funktion <math> g(x)=x </math> und die leicht zu integrierende Funktion <math> f'(x)=sin(x)</math>.| Tipp 2| Tipp 2}} | ||
Zeile 395: | Zeile 307: | ||
{{Lösung versteckt|Wie integriert man <math> f'(x)=sin(x)</math>? Welche besonderen Eigenschaften haben Sinus und Cosinus?| Tipp 3| Tipp 3}} | {{Lösung versteckt|Wie integriert man <math> f'(x)=sin(x)</math>? Welche besonderen Eigenschaften haben Sinus und Cosinus?| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt| Um zuerst die Frage bezüglich des Integrierens von Sinus und Cosinus zu beantworten: Die Integration von Sinus und Cosinus bildet einen Kreis: <math> sin(x) \rightarrow -cos(x) \rightarrow -sin(x) \rightarrow cos(x) \rightarrow sin(x) </math>. Die Stammfunktion von <math> f'(x)=sin(x)</math> ist also <math> f(x)=-cos(x)</math> | {{Lösung versteckt|Um zuerst die Frage bezüglich des Integrierens von Sinus und Cosinus zu beantworten: Die Integration von Sinus und Cosinus bildet einen Kreis: <math> sin(x) \rightarrow -cos(x) \rightarrow -sin(x) \rightarrow cos(x) \rightarrow sin(x)</math>. | ||
Die Stammfunktion von <math> f'(x)=sin(x)</math> ist also <math> f(x)=-cos(x)</math>. | |||
Und der Lösungsweg für diese Aufgabe lautet: | Und der Lösungsweg für diese Aufgabe lautet: | ||
<math> F(x)= \ | <math> F(x)= \int x \cdot sin(x) \,dx = \left[x \cdot (-cos(x)) \right] - \int 1 \cdot (-cos(x)) \, dx | ||
= x \cdot (-cos(x)) - (-sin(x)) = - x \cdot cos(x) + sin(x) + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | = x \cdot (-cos(x)) - (-sin(x)) = - x \cdot cos(x) + sin(x) + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
Zeile 422: | Zeile 336: | ||
{{Lösung versteckt|Hast du die Integration durch Substitution erkannt? Dann setze die innerer Funktion <math> g(x)=4x+1 = z </math> und leite sie nach <math> x</math> ab.| Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|Hast du die Integration durch Substitution erkannt? Dann setze die innerer Funktion <math> g(x)=4x+1 = z </math> und leite sie nach <math> x</math> ab.| Tipp 2| Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt| <math> J(x)= \int \frac{cos(z)}{2}\, \frac{dz}{4} = \int \frac{cos(z)}{8}\, dz = \frac{1}{8} \int cos(z)\, dz </math>. Wenn du jetzt so weit gekommen bist, was fehlt dann nur noch?| Tipp 3| Tipp 3}} | {{Lösung versteckt|<math> J(x)= \int \frac{cos(z)}{2}\, \frac{dz}{4} = \int \frac{cos(z)}{8}\, dz = \frac{1}{8} \int cos(z)\, dz </math>. Wenn du jetzt so weit gekommen bist, was fehlt dann nur noch?| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt|Die integrierte Funktion lautet: <math> J(x)= \frac{1}{8} \int cos(z)\, dz = \frac{1}{8} \left[ sin(z) \right] = \frac{sin(4x+1)}{8} + C </math>.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt|Die integrierte Funktion lautet: | ||
<math> J(x)= \frac{1}{8} \int cos(z)\, dz = \frac{1}{8} \left[ sin(z) \right] = \frac{sin(4x+1)}{8} + C </math>.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |||
d) <math> k(x)= cos(x) \cdot sin(x) </math> | d) <math> k(x)= cos(x) \cdot sin(x) </math> | ||
{{Lösung versteckt| Auf den ersten Blick wirkt zwar die Integralmethode "partielle Integration" passend, aber welche Methode würde vielleicht eher zum Ziel führen? | Tipp 1| Tipp 1}} | {{Lösung versteckt|Auf den ersten Blick wirkt zwar die Integralmethode "partielle Integration" passend, aber welche Methode würde vielleicht eher zum Ziel führen? | Tipp 1| Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt| Was passiert, wenn du die abgeleitete, nach <math> dx </math> umgeformte Funktion <math> g(x)= sin(x) = z </math> in das Integral für <math> dx </math> einsetzt?| Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|Was passiert, wenn du die abgeleitete, nach <math> dx </math> umgeformte Funktion <math> g(x)= sin(x) = z </math> in das Integral für <math> dx </math> einsetzt?| Tipp 2| Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt| Wenn du erkannt hast, dass du <math>sin(x) </math> kürzen kannst, erhälst du das Integral <math> \int z\, dz </math>. Den kannst du jetzt ganz leicht integrieren.| Tipp 3| Tipp 3}} | {{Lösung versteckt|Wenn du erkannt hast, dass du <math>sin(x) </math> kürzen kannst, erhälst du das Integral <math> \int z\, dz </math>. Den kannst du jetzt ganz leicht integrieren.| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt|Die integrierte Funktion lautet: <math> K(x) = \int z \, dz= \left[\frac{1}{2} \cdot z^2 \right]= \frac{(sin)^2(x)}{2} + C </math>.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt|Die integrierte Funktion lautet: | ||
<math> K(x) = \int z \, dz= \left[\frac{1}{2} \cdot z^2 \right]= \frac{(sin)^2(x)}{2} + C </math>.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |||
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|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
| Arbeitsmethode | | Arbeitsmethode }} | ||
{{Box| Aufgabe 7: Stammfunktionen zuordnen|Ordne die Funktionen ihren passenden Stammfunktionen zu! | {{Box| Aufgabe 7: Stammfunktionen zuordnen|Ordne die Funktionen ihren passenden Stammfunktionen zu! {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pa1tk2o5v20}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | |||
==Flächeninhalte von Integralen== | ==Flächeninhalte von Integralen== | ||
{{Box| Aufgabe 8: Flächeninhalte berechnen|Berechne den Flächeninhalt der folgenden Integrale! Dafür wirst du für ein paar Aufgaben einen Zettel und einen Stift benötigen. {{LearningApp|width=100%|height=600px|app=p0v4crp2j20 | {{Box| Aufgabe 8: Flächeninhalte berechnen|Berechne den Flächeninhalt der folgenden Integrale! Dafür wirst du für ein paar Aufgaben einen Zettel und einen Stift benötigen. {{LearningApp|width=100%|height=600px|app=p0v4crp2j20}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
{{Box|Aufgabe 9: Zahnlogo|[[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen | {{Box|Aufgabe 9: Zahnlogo|[[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber (1 cm<sup>3</sup> Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden? | ||
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{{Lösung versteckt|Zur Berechnung der Fläche wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>.|Tipp 2|Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|Zur Berechnung der Fläche wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>.|Tipp 2|Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt|Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von | {{Lösung versteckt|Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{Logo} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{Logo}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{Logo} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen.| Tipp 3| Tipp 3}} | {{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{\text{Logo}} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{\text{Logo}}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{\text{Logo}} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen.| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt|Zunächst wird der Flächeninhalt berechnet: | {{Lösung versteckt|Zunächst wird der Flächeninhalt berechnet: | ||
<math>A_{Logo} = \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx | <math>\begin{align} | ||
A_{\text{Logo}} &= \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx\\ | |||
&= \int_{-2}^2 (- \frac{x^2}{2} + 2) + (x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 )\, dx\\ | |||
&= \int_{-2}^2 x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - \frac{1}{2} \cdot x + 1 \, dx\\ | |||
&= \left[ \frac{1}{5} x^5 - \frac{5}{4} x^3 - \frac{1}{4} x^2 + x \right]\\ | |||
&= 3{,}2 | |||
\end{align}</math> | |||
Wenn ihr die Fläche des Logos berechnet habt, könnt ihr mit Hilfe der angegebenen Dicke des Logos das Volumen berechnen: | |||
= 3,2 cm^2 </math> | <math>V_{\text{Logo}}= A_{\text{Logo}} \cdot \text{Dicke}_{\text{Logo}} = 3{,}2 {cm}^2 \cdot 0{,}1 cm = 0{,}32 {cm}^3 </math> | ||
<math>V_{Logo} | Das Gewicht wird dann wie folgt angegeben:<math>V_{\text{Logo}} \cdot \text{Dichte}_{\text{Silber}}= 0{,}32 [\text{cm}^3] \cdot 10{,}5 \left[\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3} \right] = 3{,}36 [\text{g}] </math> | ||
Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g. | |||
Das fertige Logo aus Silber wiegt | |Lösungsweg + Lösung anzeigen | Lösungsweg + Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode| }} | ||
|Lösungsweg + Lösung anzeigen | Lösungsweg + Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode| | |||
==Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)== | ==Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)== | ||
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{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius <math>r</math>, die durch die Rotation des Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \sqrt{r^2-x^2}</math> im Intervall <math>[-r | Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius <math>r</math>, die durch die Rotation des Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \sqrt{r^2-x^2}</math> im Intervall <math>[-r, r]</math> um die <math>x</math>-Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel: <math>V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2) dx = \left[\pi(r^2\cdot x - \frac{1}{3}x^3)\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi\cdot r^3</math>.| Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}} | ||
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst. | Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst. | ||
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| Merksatz }} | | Merksatz }} | ||
{{Box|⭐ Aufgabe 10: Rotationskörper und Raumintegrale | [[Datei: | {{Box|⭐ Aufgabe 10: Rotationskörper und Raumintegrale | [[Datei:Graph A 9.png|mini|rechts|thumb|Funktionsgraph von <math>f(x)</math>.]] Bearbeite diese Aufgabe am besten schriftlich auf einem Zettel. | ||
Gegeben sei die Funktion <math> f </math> mit <math>f(x) = \frac{7}{1+x}, x \in\mathbb{R}_+</math>. Die Fläche von <math>f</math> rotiere um die <math>x</math>-Achse. | Gegeben sei die Funktion <math> f </math> mit <math>f(x) = \frac{7}{1+x}, x \in\mathbb{R}_+</math>. Die Fläche von <math>f</math> rotiere um die <math>x</math>-Achse. | ||
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Berechne den Inhalt des entstehenden Drehkörpers: | Berechne den Inhalt des entstehenden Drehkörpers: | ||
a) im Intervall <math>[0 | a) im Intervall <math>[0, r]</math> | ||
{{Lösung versteckt| Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern <math>V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx</math> und setze die Funktion <math>f(x)</math> sowie die Grenzen <math>0</math> und <math> | {{Lösung versteckt| Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern <math>V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx</math> und setze die Funktion <math>f(x)</math> sowie die Grenzen <math>0</math> und <math>r</math> ein. | Tipp | Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
<math>V_{rot}= \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx = \pi \int_{0}^{ | <math>V_{rot}= \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx = \pi \int_{0}^{r} ( \frac{7}{1+x} )^2 dx = \pi \int_{0}^{r} \frac{49}{(1+x)^2} dx = 49\pi \int_{0}^{r} (1+x)^{-2} dx = 49\pi \left[ -(1+x)^{-1} \right]_{0}^{r} = -\frac{49\pi}{1+r} + \frac{49\pi}{1} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+r}</math>| Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | ||
b) im Intervall <math>[0 | b) im Intervall <math>[0, 6]</math> | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| Verwende Teilaufgabe a) oder nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern <math>V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx</math> und setze die Funktion <math>f(x)</math> sowie die Grenzen <math>0</math> und <math>6</math> ein. | Tipp | Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt| <math>V_{rot} | {{Lösung versteckt|Wir nutzen die Lösung von Teilaufgabe a) und setzen für <math>r=6</math> ein: <math>V_{rot}= 49\pi - \frac{49\pi}{1+r} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+6} = 49\pi - 7\pi = 42\pi</math>. | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | ||
| Arbeitsmethode | | Arbeitsmethode }} | ||
{{Box |⭐ Aufgabe 11: Rotationskörper und Raumintegrale | [[Datei: | {{Box |⭐ Aufgabe 11: Rotationskörper und Raumintegrale |[[Datei:Graphen g(x) und h(x).png|mini|rechts|thumb|Funktionsgraphen von <math>g(x)</math>(orange) und <math>h(x)</math>(lila).]] Sei eine Funktion <math>g</math> gegeben mit <math>g(x) = \frac{1}{6} x^2 + 1, x\in\mathbb{R}</math> sowie die Funktion <math>h</math> mit <math>h(x) = -\frac{1}{3} x + 5, x\in\mathbb{R}</math>. | ||
Die Graphen von <math>g</math> und <math>h</math> begrenzen mit der <math>y</math>-Achse eine Fläche. | Die Graphen von <math>g</math> und <math>h</math> begrenzen mit der <math>y</math>-Achse eine Fläche. | ||
Zeile 569: | Zeile 487: | ||
Nun wird die Potenzregel angewendet und resubstitutiert. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann: | Nun wird die Potenzregel angewendet und resubstitutiert. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann: | ||
<math>V_{rot} = \pi \left[ \frac{(x-15)^3}{27} \right]_{0}^{4} - \pi \left[ \frac{x^5+20x^3}{180}+x \right]_{0}^{4} \approx 185,05. </math> | <math>V_{rot} = \pi \left[ \frac{(x-15)^3}{27} \right]_{0}^{4} - \pi \left[ \frac{x^5+20x^3}{180}+x \right]_{0}^{4} \approx 185{,}05. </math> | ||
| Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | ||
|Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | |Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} |
Aktuelle Version vom 17. Juni 2020, 20:57 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)