Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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a) <math> f(x) = x \cdot sin(x) </math> | a) <math> f(x) = x \cdot sin(x) </math> | ||
{{Lösung versteckt| Welche der drei eingeführten Integrationsverfahren passt den am besten zu einem Produkt von zwei Funktionen?| Tipp 1| Tipp 1}} | {{Lösung versteckt|Welche der drei eingeführten Integrationsverfahren passt den am besten zu einem Produkt von zwei Funktionen?| Tipp 1| Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt|Wenn du die partielle Integration verwendest, setze die leicht abzuleitende Funktion <math> g(x)=x </math> und die leicht zu integrierende Funktion <math> f'(x)=sin(x)</math>.| Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|Wenn du die partielle Integration verwendest, setze die leicht abzuleitende Funktion <math> g(x)=x </math> und die leicht zu integrierende Funktion <math> f'(x)=sin(x)</math>.| Tipp 2| Tipp 2}} | ||
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{{Lösung versteckt|Wie integriert man <math> f'(x)=sin(x)</math>? Welche besonderen Eigenschaften haben Sinus und Cosinus?| Tipp 3| Tipp 3}} | {{Lösung versteckt|Wie integriert man <math> f'(x)=sin(x)</math>? Welche besonderen Eigenschaften haben Sinus und Cosinus?| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt| Um zuerst die Frage bezüglich des Integrierens von Sinus und Cosinus zu beantworten: Die Integration von Sinus und Cosinus bildet einen Kreis: <math> sin(x) \rightarrow -cos(x) \rightarrow -sin(x) \rightarrow cos(x) \rightarrow sin(x) </math>. Die Stammfunktion von <math> f'(x)=sin(x)</math> ist also <math> f(x)=-cos(x)</math> | {{Lösung versteckt|Um zuerst die Frage bezüglich des Integrierens von Sinus und Cosinus zu beantworten: Die Integration von Sinus und Cosinus bildet einen Kreis: <math> sin(x) \rightarrow -cos(x) \rightarrow -sin(x) \rightarrow cos(x) \rightarrow sin(x) </math>. Die Stammfunktion von <math> f'(x)=sin(x)</math> ist also <math> f(x)=-cos(x)</math> | ||
Und der Lösungsweg für diese Aufgabe lautet: | Und der Lösungsweg für diese Aufgabe lautet: | ||
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{{Lösung versteckt|Hast du die Integration durch Substitution erkannt? Dann setze die innerer Funktion <math> g(x)=4x+1 = z </math> und leite sie nach <math> x</math> ab.| Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|Hast du die Integration durch Substitution erkannt? Dann setze die innerer Funktion <math> g(x)=4x+1 = z </math> und leite sie nach <math> x</math> ab.| Tipp 2| Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt| <math> J(x)= \int \frac{cos(z)}{2}\, \frac{dz}{4} = \int \frac{cos(z)}{8}\, dz = \frac{1}{8} \int cos(z)\, dz </math>. Wenn du jetzt so weit gekommen bist, was fehlt dann nur noch?| Tipp 3| Tipp 3}} | {{Lösung versteckt|<math> J(x)= \int \frac{cos(z)}{2}\, \frac{dz}{4} = \int \frac{cos(z)}{8}\, dz = \frac{1}{8} \int cos(z)\, dz </math>. Wenn du jetzt so weit gekommen bist, was fehlt dann nur noch?| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt|Die integrierte Funktion lautet: <math> J(x)= \frac{1}{8} \int cos(z)\, dz = \frac{1}{8} \left[ sin(z) \right] = \frac{sin(4x+1)}{8} + C </math>.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt|Die integrierte Funktion lautet: | ||
<math> J(x)= \frac{1}{8} \int cos(z)\, dz = \frac{1}{8} \left[ sin(z) \right] = \frac{sin(4x+1)}{8} + C </math>.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |||
d) <math> k(x)= cos(x) \cdot sin(x) </math> | d) <math> k(x)= cos(x) \cdot sin(x) </math> | ||
{{Lösung versteckt| Auf den ersten Blick wirkt zwar die Integralmethode "partielle Integration" passend, aber welche Methode würde vielleicht eher zum Ziel führen? | Tipp 1| Tipp 1}} | {{Lösung versteckt|Auf den ersten Blick wirkt zwar die Integralmethode "partielle Integration" passend, aber welche Methode würde vielleicht eher zum Ziel führen? | Tipp 1| Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt| Was passiert, wenn du die abgeleitete, nach <math> dx </math> umgeformte Funktion <math> g(x)= sin(x) = z </math> in das Integral für <math> dx </math> einsetzt?| Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|Was passiert, wenn du die abgeleitete, nach <math> dx </math> umgeformte Funktion <math> g(x)= sin(x) = z </math> in das Integral für <math> dx </math> einsetzt?| Tipp 2| Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt| Wenn du erkannt hast, dass du <math>sin(x) </math> kürzen kannst, erhälst du das Integral <math> \int z\, dz </math>. Den kannst du jetzt ganz leicht integrieren.| Tipp 3| Tipp 3}} | {{Lösung versteckt|Wenn du erkannt hast, dass du <math>sin(x) </math> kürzen kannst, erhälst du das Integral <math> \int z\, dz </math>. Den kannst du jetzt ganz leicht integrieren.| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt|Die integrierte Funktion lautet: <math> K(x) = \int z \, dz= \left[\frac{1}{2} \cdot z^2 \right]= \frac{(sin)^2(x)}{2} + C </math>.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt|Die integrierte Funktion lautet: | ||
<math> K(x) = \int z \, dz= \left[\frac{1}{2} \cdot z^2 \right]= \frac{(sin)^2(x)}{2} + C </math>.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |||
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<math>V_{Logo}= A_{Logo} \cdot Dicke_{Logo} = 3,2 {cm}^2 \cdot 0,1 cm = 0,32 {cm}^3 </math> | <math>V_{Logo}= A_{Logo} \cdot Dicke_{Logo} = 3,2 {cm}^2 \cdot 0,1 cm = 0,32 {cm}^3 </math> | ||
Das Gewicht wird dann wie folgt angegeben:<math>V_{Logo} \cdot Dichte_{Silber}= 0,32 [{cm}^3] \cdot 10,5 | Das Gewicht wird dann wie folgt angegeben:<math>V_{Logo} \cdot Dichte_{Silber}= 0,32 [{cm}^3] \cdot 10,5 [\frac{{cm}^3}{g}] = 3,36 [g] </math> | ||
Das fertige Logo aus Silber wiegt <math> 3,36 | |||
Das fertige Logo aus Silber wiegt <math> 3,36 g </math>. | |||
|Lösungsweg + Lösung anzeigen | Lösungsweg + Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode| Farbe=#0000CD }} | |Lösungsweg + Lösung anzeigen | Lösungsweg + Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode| Farbe=#0000CD }} | ||
Version vom 25. Mai 2020, 18:58 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)