Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|Überlege, was du aus der vorherigen Aufgabe brauchen könntest.| Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Überlege, was du aus der vorherigen Aufgabe brauchen könntest.| Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|<math> M =\frac{1}{3 + 1}\int_{-1}^{3} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = \frac{1}{4} (\frac{147}{16}- \frac{41}{48}) = \frac{2}{3} </math> | {{Lösung versteckt|Aus a) haben wir schon das bestimmte Integral ausgerechnet. Dies können wir für die Formel des Mittelwertes nutzen. | ||
<math> M =\frac{1}{3 + 1}\int_{-1}^{3} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = \frac{1}{4} (\frac{147}{16}- \frac{41}{48}) = \frac{2}{3} </math> | |||
Antwortsatz: Der Mittelwert der Funktion <math> h</math> lautet <math>\frac{2}{3} </math>. Damit du dir besser vorstellen kannst, was dieser Wert nun anzeigt, haben wir den Mittelwert in das Schaubild eingezeichnet. | Antwortsatz: Der Mittelwert der Funktion <math> h</math> lautet <math>\frac{2}{3} </math>. Damit du dir besser vorstellen kannst, was dieser Wert nun anzeigt, haben wir den Mittelwert in das Schaubild eingezeichnet. | ||
[[Datei:Mittelwert der Funktion h(x).jpg|mini|Mittelwert der Funktion <math>h(x)</math>]] |Lösungs anzeigen | Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe=#0000CD }} | [[Datei:Mittelwert der Funktion h(x).jpg|mini|Mittelwert der Funktion <math>h(x)</math>]] |Lösungs anzeigen | Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe=#0000CD }} | ||
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{{Lösung versteckt|Mache dir eine Skizze, ähnlich wie auf dem Foto. Wie stellt der Graph der Funktion das Kirchenfenster dar? | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Mache dir eine Skizze, ähnlich wie auf dem Foto. Wie stellt der Graph der Funktion das Kirchenfenster dar? | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|<math>\int_{7}^{3} - x^2 + 10 \cdot x - 17 \,dx = \left[ - \frac{7^3}{3} + 5 \cdot 7^2 - 17 \cdot 7 \right]- \left[ - \frac{3^3}{3} + 5 \cdot 3^2 - 17 \cdot 3 \right]= \frac{80}{3} </math> | {{Lösung versteckt|Der obere Rand des Kirchenfensters kannst du dir als den Graphen der Funktion vorstellen. Demnach ist das Integral der Funktion nichts anderes als die Glasfläche des Fensters. Mithilfe des Hauptsatzes der Integral- und Differenztialrechnung können wir die Aufgabe wie folgt berechnen: | ||
<math>\int_{7}^{3} - x^2 + 10 \cdot x - 17 \,dx = \left[ - \frac{7^3}{3} + 5 \cdot 7^2 - 17 \cdot 7 \right]- \left[ - \frac{3^3}{3} + 5 \cdot 3^2 - 17 \cdot 3 \right]= \frac{80}{3} </math> | |||
Antwortsatz: Für das Kirchenfenster wurden ungefähr <math> 26,67 m^2 </math> Glas benötigt. |Lösung anzeigen |Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | Antwortsatz: Für das Kirchenfenster wurden ungefähr <math> 26,67 m^2 </math> Glas benötigt. |Lösung anzeigen |Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
Version vom 19. Mai 2020, 19:53 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)