Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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So könntest du die Aufgabe berechnen: | So könntest du die Aufgabe berechnen: | ||
<math> M = \frac{3}{4} \cdot \int_{ | <math> M = \frac{3}{4} \cdot \int_{0}^{4} 2 \cdot x^3 - 12 \cdot x^2 + 20 \cdot x + 30 \, dx | ||
= \frac{1}{4} \cdot (\frac{4^4}{2} - 4 \cdot 4^3 + 10 \cdot 4^2 + 30 \cdot 4) = 38 </math> | = \frac{1}{4} \cdot (\frac{4^4}{2} - 4 \cdot 4^3 + 10 \cdot 4^2 + 30 \cdot 4) = 38 </math> | ||
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{{Lösung versteckt|Überlege, was du für <math> x</math> einsetzen musst. |Tipp |Tipp }} | {{Lösung versteckt|Überlege, was du für <math> x</math> einsetzen musst. |Tipp |Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|<math> p(8) = 358 </math> Antwortsatz: Am achten Tag gibt es 358 Bakterien|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt|Da x für die Anzahl der Tage steht und wir wissen wollen, wie viele Bakterien wir nach 8 Tagen haben, setzen wir <math>x=8</math> . | ||
<math>p(8) = 358 </math> | |||
Antwortsatz: Am achten Tag gibt es 358 Bakterien|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |||
b) Wie viele Bakterien gibt es in den ersten 8 Tagen im Durchschnitt? | b) Wie viele Bakterien gibt es in den ersten 8 Tagen im Durchschnitt? | ||
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{{Lösung versteckt|Welche der Formeln, die du kennengelernt hast, brauchst du? | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Welche der Formeln, die du kennengelernt hast, brauchst du? | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|<math> M = \frac{1}{8 - 0} \cdot \int_{8}^{0} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{8} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 8^5 + 10 \cdot 8^4 - \frac{500}{3} \cdot 8^3 + 1000 \cdot 8^2 + 8 - 0) = 1635,13</math> | {{Lösung versteckt|Da wir den Durchschnittswert der Funktion in den ersten 8 Tagen brauchen, nehmen wir die Formel zur Bestimmung des Mittelwertes:<math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | ||
<math> M = \frac{1}{8 - 0} \cdot \int_{8}^{0} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{8} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 8^5 + 10 \cdot 8^4 - \frac{500}{3} \cdot 8^3 + 1000 \cdot 8^2 + 8 - 0) = 1635,13</math> | |||
Antwortsatz: Im Durchschnitt gibt es ungefähr 1635 Bakterien. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Antwortsatz: Im Durchschnitt gibt es ungefähr 1635 Bakterien. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
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{{Lösung versteckt|Überlege, wie sich c) und b) unterscheiden. | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Überlege, wie sich c) und b) unterscheiden. | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|<math>M = \frac{1}{4 - 2} \int_{4}^{2} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{2} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 4^5 + 10 \cdot 4^4 - \frac{500}{3} \cdot 4^3 + 1000 \cdot 4^2 + 4 - ( - \frac{1}{5} \cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 - \frac{500}{3} \cdot 2^3 + 1000 \cdot 2^2 + 2 )) \approx 2435,13 </math> | {{Lösung versteckt| Der Unterschied zwischen c) und b) liegt darin, dass sich das Intervall verändert. Wir haben jetzt das Intervall <math>[1, 3]</math> haben. | ||
Nun können wir die Formel, wie folgt, berechnen: | |||
<math>M = \frac{1}{4 - 2} \int_{4}^{2} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{2} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 4^5 + 10 \cdot 4^4 - \frac{500}{3} \cdot 4^3 + 1000 \cdot 4^2 + 4 - ( - \frac{1}{5} \cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 - \frac{500}{3} \cdot 2^3 + 1000 \cdot 2^2 + 2 )) \approx 2435,13 </math> | |||
Antwortsatz: Zwischen dem 2. und 4. Tag werden durchschnittlich ungefähr 2435 Bakterien gezüchtet. | Antwortsatz: Zwischen dem 2. und 4. Tag werden durchschnittlich ungefähr 2435 Bakterien gezüchtet. | ||
|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
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{{Lösung versteckt|Wie lautet die Stammfunktion?| Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Wie lautet die Stammfunktion?| Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|<math>\int_{-1}^{3} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = 4\frac{1}{8} - \frac{19}{24} = \frac{25}{3} </math> | {{Lösung versteckt|Die Stammfunktion <math>H(x)</math> können wir so berechnen: <math>H(x) = \int_{a}^{b} h(x) dx = \int \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1\,dx =\frac{3x^4}{16} - \frac{2x^3}{3} + x^2 + x + C </math>. | ||
Nun musst du nur noch die Intervallgrenzen hinzufügen: | |||
<math>\int_{-1}^{3} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = 4\frac{1}{8} - \frac{19}{24} = \frac{25}{3} </math> | |||
Antwortsatz: Der Wert des Integrals lautet <math>\frac{25}{3} </math>. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Antwortsatz: Der Wert des Integrals lautet <math>\frac{25}{3} </math>. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
Version vom 19. Mai 2020, 19:47 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)