Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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'''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | '''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | ||
Wenn <math> h </math> eine | Wenn <math> h </math> eine Funktion auf dem Intervall <math>[a, b]</math> ist, so gilt für jede Stammfunktion <math> H </math> auf dem Intervall <math>[a, b]</math> die Formel: | ||
<math>\int_{a}^{b} h(x)\, dx = H(b) - H(a) </math>, wobei <math> H'(x) = h(x) </math> ist. | <math>\int_{a}^{b} h(x)\, dx = H(b) - H(a) </math>, wobei <math> H'(x) = h(x) </math> ist. | ||
Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion <math> H </math> erstellen, wenn du deren Ableitung und einen Anfangswert <math> a </math> kennst. Dies kannst du mit dieser Formel machen: | Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion <math> H </math> erstellen, wenn du deren Ableitung und einen Anfangswert <math> a </math> kennst. Dies kannst du mit dieser Formel machen: | ||
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{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Du hast die Funktion <math> h(x) = x^3 - 6 \cdot x + | Du hast die Funktion <math> h(x) = x^3 - 6 \cdot x + \frac{47}{4} \cdot x - 5\frac{1}{2} </math> auf dem Intervall <math>[1, 3]</math> | ||
1. Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion H: | 1. Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion <math> H </math>: | ||
<math> H(x) = \int x^3 - 6x^2 + | <math> H(x) = \int x^3 - 6x^2 + \frac{47}{4}\cdot x - \frac{11}{2} = \frac{1}{4} \cdot x^4 - 2\cdot x^3 + \frac{47}{8}\cdot x^2 - \frac{11}{2} \cdot x + C </math> | ||
2. Schritt: Berechne H(a) und H(b) durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen in H(x): | 2. Schritt: Berechne H(a) und H(b) durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen in H(x): | ||
<math> H(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 + | <math> H(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 + \frac{47}{8} \cdot 1^2 - \frac{11}{2} \cdot 1 + C = - \frac{11}{8} + C </math> | ||
und | und | ||
<math> H(3) = | <math> H(3) = \frac{21}{8} + C </math> | ||
3. Schritt: Bilde die Differenz <math>H(b)-H(a)</math>: | 3. Schritt: Bilde die Differenz <math>H(b)- H(a)</math>: | ||
<math> H(3) - H(1) = | <math> H(3) - H(1) = \frac{21}{8} + C - (- \frac{11}{8} + C) = 4 </math> | Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}} | ||
'''Der zweite Teil des Hauptsatzes''' | '''Der zweite Teil des Hauptsatzes''' |
Version vom 19. Mai 2020, 19:11 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)