Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Wenn <math> h </math> eine stetige Funktion auf dem Intervall <math>[a, b]</math> ist, so gilt für jede Stammfunktion <math> H </math> auf dem Intervall <math>[a, b]</math> die Formel: | Wenn <math> h </math> eine stetige Funktion auf dem Intervall <math>[a, b]</math> ist, so gilt für jede Stammfunktion <math> H </math> auf dem Intervall <math>[a, b]</math> die Formel: | ||
<math>\int_{a}^{b} h(x)\, dx = H(b) - H(a) </math>, wobei <math> H'(x) = h(x) </math> ist. | <math>\int_{a}^{b} h(x)\, dx = H(b) - H(a) </math>, wobei <math> H'(x) = h(x) </math> ist. | ||
Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion H | Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion <math> H </math> erstellen, wenn du deren Ableitung und einen Anfangswert <math> a </math> kennst. Dies kannst du mit dieser Formel machen: | ||
<math> H(x) = H(a) + H(x) - H(a) = H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt </math> | <math> H(x) = H(a) + H(x) - H(a) = H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt </math> | ||
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1. Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion H: | 1. Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion H: | ||
<math> H(x) = \int x^3 - 6x^2 +11\frac{3}{4}x - 5\frac{1}{2} = \frac{1}{4}x^4 - | <math> H(x) = \int x^3 - 6x^2 +11\frac{3}{4}\cdot x - 5\frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot x^4 - 2\cdot x^3 + 5\frac{7}{8}\cdot x^2 - 5\frac{1}{2} \cdot x + C </math> | ||
2. Schritt: Berechne H(a) und H(b) durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen in H(x): | 2. Schritt: Berechne H(a) und H(b) durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen in H(x): | ||
<math> H(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 + 5\frac{7}{8} \cdot 1^2 - 5\frac{1}{2} \cdot 1 + C = - 1\frac{3}{8} + C </math> | <math> H(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 + 5\frac{7}{8} \cdot 1^2 - 5\frac{1}{2} \cdot 1 + C = - 1\frac{3}{8} + C </math> | ||
und | |||
<math> H(3) = 2\frac{5}{8} + C </math> | <math> H(3) = 2\frac{5}{8} + C </math> | ||
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'''Der zweite Teil des Hauptsatzes''' | '''Der zweite Teil des Hauptsatzes''' | ||
Die zweite Variante des Hauptsatzes ist die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion <math> H </math>, aus und bestimmen <math> | Die zweite Variante des Hauptsatzes ist die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion <math> H </math>, aus und bestimmen <math> h(x)</math> . Hierbei gilt: | ||
<math> h(x) = H'(x) = H' \left( H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H'(a) + H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H' \left( H(x) - H(a) \right) </math>|Merksatz}} | <math> h(x) = H'(x) = H' \left( H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H'(a) + H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H' \left( H(x) - H(a) \right) </math>|Merksatz}} | ||
Version vom 19. Mai 2020, 17:58 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)