Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung== | ==Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung== | ||
{{Box|Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen|Der Hauptsatz beschreibt, wie sich Ableitung und Integration umkehren lassen. Durch ihn | {{Box|Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen|Der Hauptsatz beschreibt, wie sich Ableitung und Integration umkehren lassen. Durch ihn kannst du beispielsweise Integrale leichter ausrechnen. Der Hauptsatz besteht aus zwei Teilen, die du nicht verwechseln solltest. | ||
'''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | '''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | ||
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Wenn <math> h </math> eine stetige Funktion auf dem Intervall <math>[a, b]</math> ist, so gilt für jede Stammfunktion H auf dem Intervall <math>[a, b]</math> die Formel: | Wenn <math> h </math> eine stetige Funktion auf dem Intervall <math>[a, b]</math> ist, so gilt für jede Stammfunktion H auf dem Intervall <math>[a, b]</math> die Formel: | ||
<math>\int_{a}^{b} h(x)\, dx = H(b) - H(a) </math>, wobei <math> H'(x) = h(x) </math> ist. | <math>\int_{a}^{b} h(x)\, dx = H(b) - H(a) </math>, wobei <math> H'(x) = h(x) </math> ist. | ||
Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion | Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion H (re-)konstruieren, wenn du deren Ableitung und einen Anfangswert a kennst. Dies kannst du mit dieser Formel machen: | ||
<math> H(x) = H(a) + H(x) - H(a) = H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt </math> | <math> H(x) = H(a) + H(x) - H(a) = H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt </math> | ||
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'''Der zweite Teil des Hauptsatzes''' | '''Der zweite Teil des Hauptsatzes''' | ||
Die zweite Variante des Hauptsatzes ist | Die zweite Variante des Hauptsatzes ist die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion <math> H </math>, aus und bestimmen <math> H(x)</math> . Hierbei gilt: | ||
<math> h(x) = H'(x) = H' \left( H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H'(a) + H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H' \left( H(x) - H(a) \right) </math>|Merksatz}} | <math> h(x) = H'(x) = H' \left( H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H'(a) + H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H' \left( H(x) - H(a) \right) </math>|Merksatz}} | ||
Version vom 19. Mai 2020, 16:19 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)