Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion <math> H </math> aus und bestimmen <math> H(x)</math> . Hierbei gilt: | Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion <math> H </math> aus und bestimmen <math> H(x)</math> . Hierbei gilt: | ||
<math> h(x) = H'(x) = H'(H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt = H'(a) + H'(\int_{a}^{x} h(t)\, dt) = H'(\int_{a}^{x} h(t)\, dt) = H'( H(x) - H(a)) </math>|Merksatz}} | <math> h(x) = H'(x) = H' \left( H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H'(a) + H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H' \left( H(x) - H(a) \right) </math>|Merksatz}} | ||
==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ||
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{{Lösung versteckt|<math> M = \frac{1}{8 - 0} \cdot \int_{8}^{0} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{8} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 8^5 + 10 \cdot 8^4 - \frac{500}{3} \cdot 8^3 + 1000 \cdot 8^2 + 8 - 0) = 1635,13</math> | {{Lösung versteckt|<math> M = \frac{1}{8 - 0} \cdot \int_{8}^{0} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{8} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 8^5 + 10 \cdot 8^4 - \frac{500}{3} \cdot 8^3 + 1000 \cdot 8^2 + 8 - 0) = 1635,13</math> | ||
Antwortsatz: Im Durchschnitt gibt es ungefähr | Antwortsatz: Im Durchschnitt gibt es ungefähr 1635 Bakterien. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
c) Wie viele Bakterien werden durchschnittlich zwischen dem 2. und 4. Tag gezüchtet? | c) Wie viele Bakterien werden durchschnittlich zwischen dem 2. und 4. Tag gezüchtet? | ||
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{{Lösung versteckt|<math>M = \frac{1}{4 - 2} \int_{4}^{2} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{2} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 4^5 + 10 \cdot 4^4 - \frac{500}{3} \cdot 4^3 + 1000 \cdot 4^2 + 4 - ( - \frac{1}{5} \cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 - \frac{500}{3} \cdot 2^3 + 1000 \cdot 2^2 + 2 )) \approx 2435,13 </math> | {{Lösung versteckt|<math>M = \frac{1}{4 - 2} \int_{4}^{2} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{2} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 4^5 + 10 \cdot 4^4 - \frac{500}{3} \cdot 4^3 + 1000 \cdot 4^2 + 4 - ( - \frac{1}{5} \cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 - \frac{500}{3} \cdot 2^3 + 1000 \cdot 2^2 + 2 )) \approx 2435,13 </math> | ||
Antwortsatz: Zwischen dem 2. und 4. Tag werden durchschnittlich ungefähr | Antwortsatz: Zwischen dem 2. und 4. Tag werden durchschnittlich ungefähr 2435 Bakterien gezüchtet. | ||
|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
{{Box|Aufgabe 4: Integrieren mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift | {{Box|Aufgabe 4: Integrieren mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | ||
Die Abbildung zeigt das Schaubild der Funktion <math>h</math> mit <math> h(x) = \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 </math> | Die Abbildung zeigt das Schaubild der Funktion <math>h</math> mit <math> h(x) = \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 </math> | ||
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{{Lösung versteckt| <math> M =\frac{1}{3 + 1}\int_{3}^{-1} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = \frac{1}{4} (\frac{147}{16}- \frac{41}{48}) = \frac{25}{12} </math> | {{Lösung versteckt| <math> M =\frac{1}{3 + 1}\int_{3}^{-1} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = \frac{1}{4} (\frac{147}{16}- \frac{41}{48}) = \frac{25}{12} </math> | ||
Antwortsatz: Der Mittelwert der Funktion h lautet <math>\frac{25}{12} </math>. |Lösungs anzeigen | Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe=#0000CD }} | Antwortsatz: Der Mittelwert der Funktion <math> h</math> lautet <math>\frac{25}{12} </math>. |Lösungs anzeigen | Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe=#0000CD }} | ||
{{Box|Aufgabe 5: Das Kirchenfenster|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | {{Box|Aufgabe 5: Das Kirchenfenster|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | ||
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<math> F(4) - F(1) = (4 \cdot 4 - \frac{4^2}{2} ) - (4 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}) = 8 - \frac{7}{2} = \frac{9}{2} </math> | <math> F(4) - F(1) = (4 \cdot 4 - \frac{4^2}{2} ) - (4 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}) = 8 - \frac{7}{2} = \frac{9}{2} </math> | ||
|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |||
| Arbeitsmethode | Farbe=#0000CD }} | | Arbeitsmethode | Farbe=#0000CD }} |
Version vom 19. Mai 2020, 15:15 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)