Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Betrachtet man die Werte von Integralen in Abhängigkeit von einer festen unteren Grenze <math> a</math> und einer variablen (anstelle einer festen) oberen Grenze <math>x</math> und verwendet deshalb <math>t</math> als Variable der Integrandfunktion <math>f</math>, so erhält man eine '''Integralfunktion''' <math> F_a(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt, x\in [a, b].</math> | Betrachtet man die Werte von Integralen in Abhängigkeit von einer festen unteren Grenze <math> a</math> und einer variablen (anstelle einer festen) oberen Grenze <math>x</math> und verwendet deshalb <math>t</math> als Variable der Integrandfunktion <math>f</math>, so erhält man eine '''Integralfunktion''' <math> F_a(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt, x\in [a, b].</math> | ||
<math>F_a </math> ist also eine Funktion, die jedem <math>x \in [a, b]</math> das Integral von <math>f</math> über <math>[a | <math>F_a </math> ist also eine Funktion, die jedem <math>x \in [a, b]</math> das Integral von <math>f</math> über <math>[a, x]</math> zuordnet. <math>x</math> ist dabei die Funktionsvariable, in die eingesetzt werden darf, während <math>t</math> eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf. | ||
Eine Funktion zu integrieren (d.h. die Fläche unter der Funktionskurve zu berechnen) heißt, sich diese Funktion als 1. Ableitung zu denken. Nun sucht man eine dazu gehörige Funktion, die - wenn man sie ableitet - ebenjene 1.Ableitung (also die Ausgangsfunktion) ergeben würde. Diese andere Funktion heißt '''Stammfunktion'''. Eine Funktion <math>F</math> heißt also Stammfunktion zur Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>F'(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in (a, b)</math>. |Merksatz}} | Eine Funktion zu integrieren (d.h. die Fläche unter der Funktionskurve zu berechnen) heißt, sich diese Funktion als 1. Ableitung zu denken. Nun sucht man eine dazu gehörige Funktion, die - wenn man sie ableitet - ebenjene 1.Ableitung (also die Ausgangsfunktion) ergeben würde. Diese andere Funktion heißt '''Stammfunktion'''. Eine Funktion <math>F</math> heißt also Stammfunktion zur Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>F'(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in (a, b)</math>. |Merksatz}} | ||
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<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
{ <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math> ≤ <math> \int_{a}^{b} g(x) dx</math>, wenn <math>f(x) </math> ≤ <math> g(x)</math> für alle <math>x\in [a | { <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math> ≤ <math> \int_{a}^{b} g(x) dx</math>, wenn <math>f(x) </math> ≤ <math> g(x)</math> für alle <math>x\in [a, b]</math> } | ||
+ Wahr | + Wahr | ||
- Falsch | - Falsch | ||
{ <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math> ≥ <math> \int_{a}^{b} g(x) dx</math>, wenn <math>f(x) </math> ≤ <math> g(x)</math> für alle <math>x\in [a | { <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math> ≥ <math> \int_{a}^{b} g(x) dx</math>, wenn <math>f(x) </math> ≤ <math> g(x)</math> für alle <math>x\in [a, b]</math> } | ||
- Wahr | - Wahr | ||
+ Falsch | + Falsch | ||
{ <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math> ≤ <math> \int_{a}^{b} g(x) dx</math>, wenn <math>f(x) </math> ≥ <math> g(x)</math> für alle <math>x\in [a | { <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math> ≤ <math> \int_{a}^{b} g(x) dx</math>, wenn <math>f(x) </math> ≥ <math> g(x)</math> für alle <math>x\in [a, b]</math> } | ||
- Wahr | - Wahr | ||
+ Falsch | + Falsch | ||
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'''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | '''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | ||
Wenn f eine stetige Funktion auf dem Intervall <math>[a | Wenn f eine stetige Funktion auf dem Intervall <math>[a, b]</math> ist, so gilt für jede Stammfunktion F auf dem Intervall <math>[a, b]</math> die Formel: | ||
<math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a) </math>, wobei <math> F'(x) = f(x) </math> ist. | <math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a) </math>, wobei <math> F'(x) = f(x) </math> ist. | ||
Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion F (re-)konstruieren, wenn du deren Ableitung und einen Anfangswert a kennst. Dies kannst du mit dieser Formel machen: | Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion F (re-)konstruieren, wenn du deren Ableitung und einen Anfangswert a kennst. Dies kannst du mit dieser Formel machen: | ||
Zeile 163: | Zeile 163: | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Gegeben ist die Funktion <math> f(x) = x^3 - 6 \cdot x + 11\frac{3}{4} \cdot x - 5\frac{1}{2} </math> auf dem Intervall <math>[1 | Gegeben ist die Funktion <math> f(x) = x^3 - 6 \cdot x + 11\frac{3}{4} \cdot x - 5\frac{1}{2} </math> auf dem Intervall <math>[1, 3]</math> | ||
1 Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion F: | 1 Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion F: | ||
Zeile 182: | Zeile 182: | ||
==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ||
{{Box| Mittelwert |Mit einem Integral, zu einer Funktion <math> | {{Box| Mittelwert |Mit einem Integral, zu einer Funktion <math>k</math>, kannst du den Mittelwert der Funktion <math> k </math> bestimmen. Dazu brauchst du neben dem unbestimmten Integral auch das Intervall <math>[a, b]</math>. | ||
Hierzu benötigst du folgende Formel: | Hierzu benötigst du folgende Formel: | ||
<math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} | <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
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'''So könntest du die Beispielaufgabe berechnen:''' | '''So könntest du die Beispielaufgabe berechnen:''' | ||
#Schreibe dir die allgemeine Formel erstmal auf: <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} | #Schreibe dir die allgemeine Formel erstmal auf: <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | ||
#Setze alle Variablen, die du aus der Aufgabe hast ein: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{40}^{0} \frac{5}{4} \cdot t \,dt </math> | #Setze alle Variablen, die du aus der Aufgabe hast ein: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{40}^{0} \frac{5}{4} \cdot t \,dt </math> | ||
#Berechne den Mittelwert: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{40}^{0} \frac{5}{4} \cdot t \,dt= \frac{1}{30} \cdot [\frac{5}{8} \cdot t^2]_{40}^{0}=\frac{1}{40} \cdot \frac{1}{40} \cdot 40^2 = 25 </math> | #Berechne den Mittelwert: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{40}^{0} \frac{5}{4} \cdot t \,dt= \frac{1}{30} \cdot [\frac{5}{8} \cdot t^2]_{40}^{0}=\frac{1}{40} \cdot \frac{1}{40} \cdot 40^2 = 25 </math> | ||
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= \frac{1}{4} \cdot (\frac{4^4}{2} - 4 \cdot 4^3 + 10 \cdot 4^2 + 30 \cdot 4) = 38 </math> | = \frac{1}{4} \cdot (\frac{4^4}{2} - 4 \cdot 4^3 + 10 \cdot 4^2 + 30 \cdot 4) = 38 </math> | ||
Antwortsatz: In den ersten vier Tagen beträgt der Durchschnittspreis <math> 38 | Antwortsatz: In den ersten vier Tagen beträgt der Durchschnittspreis <math> 38</math> |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe=#0000CD }} | ||
{{Box|Aufgabe 3: Bakterien |'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | {{Box|Aufgabe 3: Bakterien |'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' |
Version vom 19. Mai 2020, 08:37 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)