Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Einführung: Integral== | ==Einführung: Integral== | ||
{{Box|Was ist ein Integral? |Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und | {{Box|Was ist ein Integral? |Die Integralrechnung ist eine Art Flächenberechnung. Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummen bestimmt werden. D.h. man versucht, eine kurvige Fläche mit Flächen auszufüllen, die man leicht berechnen kann. Das sind vor allem Rechteck- und Dreieickflächen. Dann summiert man diese Teilflächen und erhält die Gesamtfläche. Dies nennt man das '''Integral''' von <math> f </math> über das Intervall <math>[a, b]</math> und schreibt dafür <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math>. | ||
Die Funktion <math>f</math> heißt dann über <math>[a, b]</math> integrierbar. Dabei ist <math>a</math> die untere und <math>b</math> die obere '''Integrationsgrenze''' und <math>f</math> die '''Rand'''- oder auch '''Integrandfunktion'''. | Die Funktion <math>f</math> heißt dann über <math>[a, b]</math> integrierbar. Dabei ist <math>a</math> die untere und <math>b</math> die obere '''Integrationsgrenze''' und <math>f</math> die '''Rand'''- oder auch '''Integrandfunktion'''. | ||
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<math>F_a </math> ist also eine Funktion, die jedem <math>x \in [a, b]</math> das Integral von <math>f</math> über <math>[a; x]</math> zuordnet. <math>x</math> ist dabei die Funktionsvariable, in die eingesetzt werden darf, während <math>t</math> eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf. | <math>F_a </math> ist also eine Funktion, die jedem <math>x \in [a, b]</math> das Integral von <math>f</math> über <math>[a; x]</math> zuordnet. <math>x</math> ist dabei die Funktionsvariable, in die eingesetzt werden darf, während <math>t</math> eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf. | ||
Eine Funktion <math>F</math> heißt | Eine Funktion zu integrieren (d.h. die Fläche unter der Funktionskurve zu berechnen) heißt, sich diese Funktion als 1. Ableitung zu denken. Nun sucht man eine dazu gehörige Funktion, die - wenn man sie ableitet - ebenjene 1.Ableitung (also die Ausgangsfunktion) ergeben würde. Diese andere Funktion heißt '''Stammfunktion'''. Eine Funktion <math>F</math> heißt also Stammfunktion zur Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>F'(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in (a, b)</math>. |Merksatz}} | ||
==Rechnen mit Integralen== | ==Rechnen mit Integralen== |
Version vom 17. Mai 2020, 07:06 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.