Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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#Die nach <math>dx</math> umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt. | #Die nach <math>dx</math> umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt. | ||
#Nun folgt das normale Integrationsverfahren. Also: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx = \left[F(z)\right]^{g(b)}_{g(a)} </math> | #Nun folgt das normale Integrationsverfahren. Also: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx = \left[F(z)\right]^{g(b)}_{g(a)} </math> | ||
#Die Resubstitution ist nun der letzte Schritt, in dem das Ersetzen der inneren Funktion <math> g(x) </math> durch die Variable <math>z</math> wieder rückgängig gemacht wird. Das heißt: <math> \left[F(z)\right]^{g(b)}_{g(a)} = \left[F(g(x))\right]^{b}_{a} </math> | #Die Resubstitution ist nun der letzte Schritt, in dem das Ersetzen der inneren Funktion <math> g(x) </math> durch die Variable <math>z</math> wieder rückgängig gemacht wird. Das heißt: <math> \left[F(z)\right]^{g(b)}_{g(a)} = \left[F(g(x))\right]^{b}_{a} </math> | ||
{{Lösung versteckt|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=sin(2x) </math> | {{Lösung versteckt|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=sin(2x) </math> | ||
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#Für die speziellen Grenzen berechnen wir nun die Fläche: <math> \frac{1}{2} \left[-cos(z)\right]^{\pi}_{0} = \frac{1}{2} (-cos(\pi)-(-cos(0)) = \frac{1}{2} (1+1) = 1 </math> | #Für die speziellen Grenzen berechnen wir nun die Fläche: <math> \frac{1}{2} \left[-cos(z)\right]^{\pi}_{0} = \frac{1}{2} (-cos(\pi)-(-cos(0)) = \frac{1}{2} (1+1) = 1 </math> | ||
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)= sin(2x) </math> lautet: <math> H(x) = - \frac{1}{2} cos(2x)+C </math> | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)= sin(2x) </math> lautet: <math> H(x) = - \frac{1}{2} cos(2x)+C </math>|Beispiel anzeigen|Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | ||
==Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren== | ==Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren== | ||
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c) <math> | c) <math> j(x)= \frac{cos(4x+1)}{2} </math> | ||
{{Lösung versteckt| An welche Integralmethode erinnert dich die | {{Lösung versteckt|An welche Integralmethode erinnert dich die verketteten Funktionen? | Tipp 1| Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt| Setze die innerer Funktion <math> g(x)= | {{Lösung versteckt| Setze die innerer Funktion <math> g(x)=4x+1 = z </math> und leite sie nach <math>x </math> ab.| Tipp 2| Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt| <math> \int | {{Lösung versteckt| <math> J(x)= \int \frac{cos(z)}{2}\, \frac{dz}{4} = \int \frac{cos(z)}{8}\, dz = \frac{1}{8} \int cos(z)\, dz </math>.| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt| <math> | {{Lösung versteckt| <math> J(x)= \frac{sin(4x+1)}{8} + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
Version vom 14. Mai 2020, 20:11 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.