Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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<math> g(x) </math> ist die leicht abzuleitende Funktion. | <math> g(x) </math> ist die leicht abzuleitende Funktion. | ||
{{Lösung versteckt|Die Beispielfunktion lautet: <math>h(x) = | {{Lösung versteckt|Die Beispielfunktion lautet: <math>h(x) =cos(x) \cdot x</math> | ||
<math> | <math> cos(x) </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=cos(x) </math> und <math> f'(x)=sin(x) </math> | ||
<math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math> | <math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math> | ||
Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: <math> \int f'(x) \cdot g(x)\,dx = [f(x) \cdot g(x)] - \int f(x) \cdot g'(x)\,dx </math> | Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: <math> \int f'(x) \cdot g(x)\,dx = [f(x) \cdot g(x)] - \int f(x) \cdot g'(x)\,dx </math> | ||
<math> \int | <math> \int cos(x) \cdot x\,dx = [sin(x) \cdot x] - \int sin(x) \cdot 1\,dx = [sin(x) \cdot x] - [-(cos(x))] = sin(x) \cdot x + cos(x) </math> | ||
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math>h(x) = | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math>h(x) = cos(x) \cdot x</math> lautet somit:<math> H(x) = sin(x) \cdot x + cos(x)+C </math>| Beispiel anzeigen| Beispiel verbergen}} | Merksatz}} | ||
==Integration durch Substitution== | ==Integration durch Substitution== | ||
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#Für die speziellen Grenzen berechnen wir nun die Fläche: <math> \frac{1}{2} \left[-cos(z)\right]^{\pi}_{0} = \frac{1}{2} (-cos(\pi)-(-cos(0)) = \frac{1}{2} (1+1) = 1 </math> | #Für die speziellen Grenzen berechnen wir nun die Fläche: <math> \frac{1}{2} \left[-cos(z)\right]^{\pi}_{0} = \frac{1}{2} (-cos(\pi)-(-cos(0)) = \frac{1}{2} (1+1) = 1 </math> | ||
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)= sin(2x) </math> lautet: <math> H(x) = - \frac{1}{2} cos(2x) </math>|Beispiel anzeigen|Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)= sin(2x) </math> lautet: <math> H(x) = - \frac{1}{2} cos(2x)+C </math>|Beispiel anzeigen|Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | ||
==Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren== | ==Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren== |
Version vom 14. Mai 2020, 13:54 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.