Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=sin(2x) </math> | {{Lösung versteckt|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=sin(2x) </math> | ||
Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_0^{\pi} sin(2x)\, dx </math> | Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_0^{\pi} sin(2x)\, dx </math>. Dabei sind die Grenzen <math> a=0 </math> und <math> b= \frac{1}{2} \pi </math> | ||
#Die innere Funktion ist <math> g(x) = 2x = z </math>. | #Die innere Funktion ist <math> g(x) = 2x = z </math>. | ||
#Ableitung der Funktion: <math> g'(x)=2 \cdot dx=dz </math>. | #Ableitung der Funktion: <math> g'(x)=2 \cdot dx=dz </math>. | ||
#Umformen nach dx: <math> 2 \cdot dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}</math>. | #Umformen nach <math> dx </math>: <math> 2 \cdot dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}</math>. | ||
#Anpassung der alten Grenzen <math> a \longrightarrow g(a)</math> bzw. <math> b \longrightarrow g(b) </math>. Das heißt für unsere untere Grenze a=0 gilt <math> g(0)=2 \cdot 0 = 0 </math> und für die obere Grenze <math> b=\pi </math> gilt <math> g(\pi)= 2 \cdot \pi = 2 \pi </math>. | #Anpassung der alten Grenzen <math> a \longrightarrow g(a)</math> bzw. <math> b \longrightarrow g(b) </math>. Das heißt für unsere untere Grenze <math> a=0 </math> gilt <math> g(0)=2 \cdot 0 = 0 </math> und für die obere Grenze <math> b=\pi </math> gilt <math> g(\pi)= 2 \cdot \pi = 2 \pi </math>. | ||
#Einsetzen in das Integral: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} sin(z)\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^2 \pi} sin(z)\, dz </math>. | #Einsetzen in das Integral: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} sin(z)\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^2 \pi} sin(z)\, dz </math>. | ||
#Integration: <math> \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{2 \pi} sin(z)\, dz = \frac{1}{2} \left[-cos(z)\right]^{2 \pi}_{0} </math>. | #Integration: <math> \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{2 \pi} sin(z)\, dz = \frac{1}{2} \left[-cos(z)\right]^{2 \pi}_{0} </math>. | ||
#Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left[-cos(z)\right]^{2 \pi}_{0} = \frac{1}{2} (-cos(2 \pi)-(-cos(0)) = </math> | #Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: | ||
#Für die speziellen Grenzen berechnen wir nun die Fläche: <math> \frac{1}{2} \left[-cos(z)\right]^{2 \pi}_{0} = \frac{1}{2} (-cos(2 \pi)-(-cos(0)) = \frac{1}{2} (1-1) = 0 </math> | |||
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)= | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)= sin(2x) </math> lautet: <math> H(x) = - \frac{1}{2} cos(2x) </math>|Beispiel anzeigen|Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | ||
==Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren== | ==Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren== |
Version vom 14. Mai 2020, 12:52 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.