Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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#Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion <math> g(x) </math> eingesetzt. | #Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion <math> g(x) </math> eingesetzt. | ||
{{Lösung versteckt|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)= | {{Lösung versteckt|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=sin(2x) </math> | ||
Zu bestimmen: <math> H(x) = \ | Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_0^{\pi} sin(2x)\, dx </math> | ||
#Die innere Funktion ist <math> g(x) = 2x = z </math> | #Die innere Funktion ist <math> g(x) = 2x = z </math>. | ||
#Ableitung der Funktion: <math> g'(x)=2 \cdot dx=dz </math> | #Ableitung der Funktion: <math> g'(x)=2 \cdot dx=dz </math>. | ||
#Umformen nach dx: <math> 2 \cdot dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}</math> | #Umformen nach dx: <math> 2 \cdot dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}</math>. | ||
#Anpassung der alten Grenzen <math> a \longrightarrow g(a)</math> <math> b \longrightarrow g(b) </math> | #Anpassung der alten Grenzen <math> a \longrightarrow g(a)</math> bzw. <math> b \longrightarrow g(b) </math>. Das heißt für unsere untere Grenze a=0 gilt <math> g(0)=2 \cdot 0 = 0 </math> und für die obere Grenze <math> b=\pi </math> gilt <math> g(\pi)= 2 \cdot \pi = 2 \pi </math>. | ||
#Einsetzen in das Integral: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} | #Einsetzen in das Integral: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} sin(z)\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^2 \pi} sin(z)\, dz </math>. | ||
#Integration: <math> \frac{1}{2} \cdot \int_{ | #Integration: <math> \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{2 \pi} sin(z)\, dz = \frac{1}{2} \left[-cos(z)\right]^{2 \pi}_{0} </math>. | ||
#Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left[ | #Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left[-cos(z)\right]^{2 \pi}_{0} = \frac{1}{2} (-cos(2 \pi)-(-cos(0)) = </math> | ||
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{2x} </math>| Beispiel anzeigen| Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{2x} </math>| Beispiel anzeigen| Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | ||
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{{Lösung versteckt| Welche der drei eingeführten Integrationsverfahren passt den am besten zu einem Produkt von zwei Funktionen?| Tipp 1| Tipp 1}} | {{Lösung versteckt| Welche der drei eingeführten Integrationsverfahren passt den am besten zu einem Produkt von zwei Funktionen?| Tipp 1| Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt|Wenn du die partielle Integration verwendest, setze die leicht abzuleitende Funktion <math> g(x)=x </math> und die leicht zu integrierende Funktion <math> f'(x)=sin(x)</math>| Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|Wenn du die partielle Integration verwendest, setze die leicht abzuleitende Funktion <math> g(x)=x </math> und die leicht zu integrierende Funktion <math> f'(x)=sin(x)</math>.| Tipp 2| Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt| <math> F(x)= \int_a^b x \cdot sin(x) \,dx = \left[x \cdot (-cos(x)) \right] - \int_a^b 1 \cdot | {{Lösung versteckt| <math> F(x)= \int_a^b x \cdot sin(x) \,dx = \left[x \cdot (-cos(x)) \right] - \int_a^b 1 \cdot (-cos(x)) \, dx = x \cdot (-cos(x)) - (-sin(x)) = - x \cdot cos(x) + sin(x) + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
Version vom 14. Mai 2020, 12:39 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.