Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung== | |||
{{Box|Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen|Der Hauptsatz beschreibt, wie sich Ableitung und Integration umkehren lassen. Durch ihn lassen sich beispielsweise Integrale leichter ausrechnen. Der Hauptsatz besteht aus zwei Teilen, die es zu unterscheiden gilt. | |||
'''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | |||
Wenn f eine stetige Funktion auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist, so gilt für jede Stammfunktion F auf dem Intervall <math>[a; b]</math> die Formel: | |||
<math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a) </math>, wobei <math> F'(x) = f(x) </math> ist. | |||
Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion F (re-)konstruieren, wenn du deren Ableitung und einen Anfangswert a kennst. Dies kannst du mit dieser Formel machen: | |||
<math> F(x) = F(a) + F(x) - F(a) = F(a) + \int_{a}^{x} f(t)\, dt </math> | |||
{{Lösung versteckt| | |||
Gegeben ist die Funktion <math> f(x) = x^3 - 6 \cdot x + 11\frac{3}{4} \cdot x - 5\frac{1}{2} </math> auf dem Intervall <math>[1; 3]</math> | |||
1 Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion F: | |||
<math> F(x) = \int x^3 - 6x^2 +11\frac{3}{4}x - 5\frac{1}{2} = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 5\frac{7}{8}x^2 - 5\frac{1}{2}x + C </math> | |||
2 Schritt: Berechne F(a) und F(b) durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen in F(x): | |||
<math> F(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 + 5\frac{7}{8} \cdot 1^2 - 5\frac{1}{2} \cdot 1 + C = - 1\frac{3}{8} + C </math> | |||
<math> F(3) = 2\frac{5}{8} + C </math> | |||
3 Schritt: Bilde die Differenz <math>F(b-F(a)</math>: | |||
<math> F(3) - F(1) = 2 \frac{5}{8} + C - (- 1\frac{3}{8} + C) = 4 </math> | Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}} | |||
'''Der zweite Teil des Hauptsatzes''' | |||
Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion <math> F </math> aus und bestimmen <math> f(x)</math> . Hierbei gilt: | |||
<math> f(x) = F'(x) = F'(F(a) + \int_{a}^{x} f(t)\, dt = F'(a) + F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'( F(x) - F(a)) </math>|Merksatz}} | |||
==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ||
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= 2435 \frac{2}{15}</math>|Lösungsweg anzeigen|Lösung verbergen}} |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | = 2435 \frac{2}{15}</math>|Lösungsweg anzeigen|Lösung verbergen}} |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
Version vom 14. Mai 2020, 10:18 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.