Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius <math>r</math>, die durch die Rotation des Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \sqrt{r^2-x^2}</math> im Intervall <math>[-r; r]</math> um die <math>x</math>-Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel: <math>V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2) dx = \left[\pi(r^2\cdot x - \frac{1}{3}x^3)\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi\cdot r^3</math>| Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}} | Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius <math>r</math>, die durch die Rotation des Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \sqrt{r^2-x^2}</math> im Intervall <math>[-r; r]</math> um die <math>x</math>-Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel: <math>V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2) dx = \left[\pi(r^2\cdot x - \frac{1}{3}x^3)\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi\cdot r^3</math>.| Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}} | ||
| Merksatz }} | | Merksatz }} | ||
{{Lösung versteckt|Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst. | {{Lösung versteckt|Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst. | ||
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{{Lösung versteckt| Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern <math>V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx</math> und setze die Funktion <math>f(x)</math> sowie die Grenzen <math>0</math> und <math>6</math> ein. | Tipp | Tipp}} | {{Lösung versteckt| Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern <math>V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx</math> und setze die Funktion <math>f(x)</math> sowie die Grenzen <math>0</math> und <math>6</math> ein. | Tipp | Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt| <math>V_{rot}= \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} ( \frac{7}{1+x} )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} \frac{49}{(1+x)^2} dx = 49\pi \int_{0}^{a} (1+x)^{-2} dx = 49\pi \left[ -(1+x)^{-1} \right]_{0}^{a} = -\frac{49\pi}{1+a} + \frac{49\pi}{1} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+a} = 49\pi - 7\pi = 42\pi</math> | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt| <math>V_{rot}= \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} ( \frac{7}{1+x} )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} \frac{49}{(1+x)^2} dx = 49\pi \int_{0}^{a} (1+x)^{-2} dx = 49\pi \left[ -(1+x)^{-1} \right]_{0}^{a} = -\frac{49\pi}{1+a} + \frac{49\pi}{1} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+a} = 49\pi - 7\pi = 42\pi</math>. | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe=#0000CD }} | | Arbeitsmethode | Farbe=#0000CD }} | ||
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Nun wird die Potenzregel angewendet und resubstitutiert. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann: | Nun wird die Potenzregel angewendet und resubstitutiert. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann: | ||
<math>V_{rot} = \left[ \frac{(x-15)^3}{27} \right]_{0}^{4} - \left[ \frac{x^5+20x^3}{180}+x \right]_{0}^{4} \approx 66,90 </math> | <math>V_{rot} = \left[ \frac{(x-15)^3}{27} \right]_{0}^{4} - \left[ \frac{x^5+20x^3}{180}+x \right]_{0}^{4} \approx 66,90. </math> | ||
| Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | ||
|Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | |Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} |
Version vom 13. Mai 2020, 13:02 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.