Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt| Überlege dir, wie die Formel aussieht, die du zur Berechnung des Inhalts zwischen zwei Funktionen nutzen musst. | Tipp 1 | Tipp 1}} | {{Lösung versteckt| Überlege dir, wie die Formel aussieht, die du zur Berechnung des Inhalts zwischen zwei Funktionen nutzen musst. | Tipp 1 | Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt| Die Formel zur Inhaltsberechnung lautet: <math>V_{rot} = \pi \int_{0}^{b} ( h(x) )^2 dx - \pi \int_{0}^{b} ( g(x) )^2 dx </math>, wobei <math>b</math> | {{Lösung versteckt| Die Formel zur Inhaltsberechnung lautet: <math>V_{rot} = \pi \int_{0}^{b} ( h(x) )^2 dx - \pi \int_{0}^{b} ( g(x) )^2 dx </math>, wobei <math>b</math> die Schnittstelle von <math>h(x)</math> und <math>g(x)</math> ist. Berechne also zunächst die Schnittstelle. | Tipp 2 | Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| Die Schnittstelle von <math>h(x)</math> und <math>g(x)</math> ist <math>4</math>. Setze dies nun als obere Grenze in deine Formel (siehe Tipp 2) ein und berechne die Integrale. Nutze dafür die Substitution sowie dein Wissen über Potenzregeln und Linearität. | Tipp 3 | Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt| <math>\approx 58,26</math> {{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| <math>\approx 58,26</math> {{Lösung versteckt| | ||
1. | 1. Schnittstelle berechnen: | ||
<math>g(x) = h(x) | <math>g(x) = h(x) | ||
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</math> | </math> | ||
Für uns interessant ist nur der Wert im positiven <math>x</math>-Bereich, da die Fläche links von der <math>y</math>-Achse laut Aufgabenstellung nicht betrachtet wird. | Für uns interessant ist nur der Wert im positiven <math>x</math>-Bereich, da die Fläche links von der <math>y</math>-Achse laut Aufgabenstellung nicht betrachtet wird. | ||
2. Integrale berechnen: | 2. Integrale berechnen: | ||
<math>V_{rot} = \pi \int_{0}^{b} ( h(x) )^2 dx - \pi \int_{0}^{b} ( g(x) )^2 dx = V_{rot} = \pi \int_{0}^{ | <math>V_{rot} = \pi \int_{0}^{b} ( h(x) )^2 dx - \pi \int_{0}^{b} ( g(x) )^2 dx = V_{rot} = \pi \int_{0}^{4} ( -\frac{1}{3} x + 5 )^2 dx - \pi \int_{0}^{4} ( \frac{1}{6} x^2 + 1 )^2 dx = \pi \int_{0}^{4} ( 5 -\frac{x}{3} )^2 dx - \pi \int_{0}^{4} ( \frac{x^4}{36} + \frac{x^2}{3} + 1 ) dx</math> | ||
<math>\rightarrow</math> Substituiere <math>u = 5 - \frac{x}{3} \Rightarrow \frac{du}{dx} = -\frac{1}{3} | <math>\rightarrow</math> Substituiere <math>u = 5 - \frac{x}{3} \Rightarrow \frac{du}{dx} = -\frac{1}{3} | ||
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Nun muss die Potenzregel angewendet und resubstitutiert werden. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann: | Nun muss die Potenzregel angewendet und resubstitutiert werden. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann: | ||
<math>V_{rot} = \left[ \frac{(x-15)^3}{27} \right]_{0}^{ | <math>V_{rot} = \left[ \frac{(x-15)^3}{27} \right]_{0}^{4} - \left[ \frac{x^5+20x^3}{180}+x \right]_{0}^{4} \approx 58,26 </math> | ||
|Lösungsweg anzeigen | Lösungsweg verbergen}} | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | |Lösungsweg anzeigen | Lösungsweg verbergen}} | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | ||
|Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | |Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} |
Version vom 13. Mai 2020, 12:54 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.