Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Aufgabe 9: | {{Box|Aufgabe 9: Zahnlogo| [[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber (<math> 1 cm^2 </math> Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden? | ||
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{{Lösung versteckt| Zuerst | {{Lösung versteckt| Zuerst soll die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>.|Tipp 1|Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt| Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.| Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt| Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von <math> 1 mm </math> muss auf jeden Fall noch in <math> cm </math> umgerechnet werden.| Tipp 2| Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{Logo} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{Logo}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{Logo} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen| Tipp 3| Tipp 3}} | {{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{Logo} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{Logo}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{Logo} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen.| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt| Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g. {{Lösung versteckt| <math>A_{Logo} = 3,2 cm^2 </math> | {{Lösung versteckt| Das fertige Logo aus Silber wiegt <math> 3,36 g </math>. {{Lösung versteckt| Zunächst wird der Flächeninhalt berechnet: | ||
<math>A_{Logo} = \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx | |||
= \int_{-2}^2 (- \frac{x^2}{2} + 2) + (x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 )\, dx | |||
= \left[ \right] = 3,2 cm^2 </math> | |||
Wenn ihr die Fläche des Logos berechnet habt, könnt ihr mit Hilfe der angegebenen Dicke des Logos das Volumen berechnen: | |||
<math>V_{Logo}= A_{Logo} \cdot Dicke_{Logo} = 3,2 {cm}^2 \cdot 0,1 cm = 0,32 {cm}^3 </math> | <math>V_{Logo}= A_{Logo} \cdot Dicke_{Logo} = 3,2 {cm}^2 \cdot 0,1 cm = 0,32 {cm}^3 </math> | ||
<math>V_{Logo} \cdot Gewicht_{Silber}= 0,32 [{cm}^3] \cdot 10,5 [g] = 3,36 [g] </math> | Das Gewicht wird dann wie folgt angegeben:<math>V_{Logo} \cdot Gewicht_{Silber}= 0,32 [{cm}^3] \cdot 10,5 [g] = 3,36 [g] </math> | ||
|Lösungsweg anzeigen | Lösungsweg verbergen}} | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode| Farbe=#0000CD }} | |Lösungsweg anzeigen | Lösungsweg verbergen}} | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode| Farbe=#0000CD }} |
Version vom 11. Mai 2020, 07:11 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.