Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung== | ==Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung== | ||
{{Box|Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen|Der Hauptsatz beschreibt, wie sich Ableitung und Integration umkehren lassen. Durch ihn lassen sich beispielsweise Integrale leichter ausrechnen. Der Hauptsatz besteht aus zwei Teilen, die es zu unterscheiden gilt. | {{Box|Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen|Der Hauptsatz beschreibt, wie sich Ableitung und Integration umkehren lassen. Durch ihn lassen sich beispielsweise Integrale leichter ausrechnen. Der Hauptsatz besteht aus zwei Teilen, die es zu unterscheiden gilt. | ||
'''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | |||
Wenn f eine stetige Funktion auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist, so gilt für jede Stammfunktion F auf dem Intervall <math>[a; b]</math> die Formel: | Wenn f eine stetige Funktion auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist, so gilt für jede Stammfunktion F auf dem Intervall <math>[a; b]</math> die Formel: | ||
<math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a) </math>, wobei <math> F'(x) = f(x) </math> ist. | <math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a) </math>, wobei <math> F'(x) = f(x) </math> ist. | ||
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<math> F(3) - F(1) = 2\frac{5}{8} + C - (- 1\frac{3}{8} + C) = 4 </math> | Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}} | <math> F(3) - F(1) = 2\frac{5}{8} + C - (- 1\frac{3}{8} + C) = 4 </math> | Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}} | ||
'''Der zweite Teil des Hauptsatzes''' | |||
Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion <math> F </math> aus und bestimmen <math> f(x)</math> . Hierbei gilt: | Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion <math> F </math> aus und bestimmen <math> f(x)</math> . Hierbei gilt: | ||
<math> f(x) = F'(x) = F'(F(a) + \int_{a}^{x} f(t)\, dt = F'(a) + F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'( F(x) - F(a)) </math>|Merksatz}} | <math> f(x) = F'(x) = F'(F(a) + \int_{a}^{x} f(t)\, dt = F'(a) + F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'( F(x) - F(a)) </math>|Merksatz}} |
Version vom 24. April 2020, 08:28 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Aufgaben zur Mittelwertsberechnung und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zur partiellen Integration, Integration durch Substitution und Integration mithilfe des Hauptsatzes
weiterführende Aufgaben: Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)
Aufgaben